Абстрактным принято называть тип данных, в явном виде не имеющийся в языке программирования, в этом смысле это понятие относительное - тип данных, отсутствующий в одном языке программирования, может присутствовать в другом.
Абстрактный тип данных (АТД) определяется независимо от способа его реализации:
множеством возможных значений этого типа,
и набором операций со значениями этого типа.
Использование АТД может быть ограничено этапом разработки программного обеспечения, но для его явного использования в программе надо иметь его реализацию на основе уже имеющихся (и ранее реализованных) типов данных в языке программирования:
способ представления значений этого типа,
и реализацию операций со значениями этого типа.
АТД не является предопределенным в языке программирования, и даже более того – операции конструирования таких типов, предопределенные в языке, перекладывают на разработчика-программиста вопрос о способе представления значений такого типа и реализации операций со значениями этого типа. А потому, для таких типов данных вопрос о выборе определений и способов реализации операций вида конструктор (значений и хранилищ данных) такого типа, селектор и модификатор компонентов (значений и хранилищ данных) такого типа возлагается на разработчика-программиста.
В концепции АТД особый статус имеют понятия интерфейс , открытый пользователю, и реализация , скрытая от него. Особая роль этих понятий в концепции АТД связана с основополагающим положением о независимости понятия АТД от способа его реализации.
В современных «практических языках программирования» для конструирования АТД обычно используется предопределенная операция конструирования типов class , которая дает разработчику-программисту не только средства группировки данных и операций (с этими данными) в единое целое, но и средства инкапсуляции, наследования и полиморфизма для управления способами конструирования и доступа к таким данным. Отметим, что класс описывает одну возможную реализацию АТД, отображение класса в АТД выражается функцией абстракции, но обратное отношение, обычно, не является функциональным, реализаций одного и того же АТД может быть несколько.
В исследованиях по абстрактным типам данных уже на раннем этапе была осознана важная роль понятия «параметризация типа ». Действительно, например АТД «Стек» не зависит от типа элементов стека, но реализовать этот АТД указанием на «элементы какого-то одинакового типа» невозможно. В язык программирования Ada соответствующие средства конструирования параметризованных типов данных были включены изначально, а в современных «практических языках программирования» какие средства появились только со времен появления разработки по STL-библиотеке . На сегодня понятие «обобщенное программирование» занимает значимое положение в практическом программировании благодаря включению в «практические языки программирования» средств конструирования параметризованных типов данных (шаблоны, template , generic) .
Всё вышесказанное означает, что с методологической и теоретической точки зрения необходимо более детальное точное определение понятия «абстрактный тип данных». В теории понятие «абстрактный тип данных» обычно определяется как многосортная (многоосновная) алгебраическая система , в которой дополнительно к множеству возможных значений (носителю) и набору операций над такими значениями выделены понятия:
Сорт и сигнатура – эти понятия позволяют расклассифицировать и элементы носителя и операции с ними по их типам (для операций - по типам их аргументов и возвращаемого значения).
Предикаты – отношения на элементах носителя. Это позволяет определять область возможных значений наложением ограничений (требований) на допустимые значения, а также в естественной трактовке работать с произвольными логическими выражениями, не принуждая интерпретировать их как функции принадлежности для множеств или как многозначные операции.
На такой основе можно рассматривать абстрактные типы данных с единой целостной логико-алгебраической точки зрения, включая вопросы о конструкторах (типов и значений), селекторах и модификаторах свойств для объектов такого типа .
Понятия «структура данных» и «абстрактный тип данных» в чем-то очень близкие. Можно конечно считать, что эти понятия - просто два взгляда на одно и то же. Способ представления значений АТД всегда основан на некоторой структуре данных, менее или более сложной, и реализация операций с такими значениями естественно зависит от этой выбранной структуры данных. С другой стороны, заинтересовавшую нас структуру данных при большом желании мы всегда можем оформить как АТД.
Но все же мы будем различать эти два понятия, учитывая:
Абстрактный тип данных - подразумевает определенный уровень абстрагирования с целью фиксации прикладного (предметно-ориентированного) типа данных безотносительно к способам его реализации, и возможно включения этого типа данных в прикладную библиотеку, ну хотя бы для конкретной разработки конкретной программной системы. АТД может иметь несколько альтернативных реализаций, основанных на различных структурах данных.
Структура данных - скорее некоторая схема организации данных и управления ими, которая предполагает соответствующие конкретизации при ее использовании в конкретных ситуациях при решении конкретных задач.
К абстрактным типам данных прежде всего естественно относятся математические базовые алгебраические системы – последовательности, множества, отношения и отображения (функциональные отношения, функции) . Но в программировании на переднем плане не исследование общих свойств этих математических понятий, а возможности их использования в разработке моделей решения задач предметной области, алгоритмов решения этих задач и эффективной реализации разработанных алгоритмов. А потому в программировании в виде АТД обычно оформляются с одной стороны ограниченные варианты этих базовых алгебраических систем, а с другой стороны расширенные специализированными наборами операций, представляющими прагматический интерес с точки зрения области применения.
Все встроенные типы данных, являются абстрактными, хотя так их называют редко.
Абстракция - это суждение или представление о некотором объекте, которое содержит только свойства, являющиеся существенными в данном контексте. Абстракция позволяет объединять экземпляры объектов в группы, внутри которых общие свойства объектов можно не рассматривать, т.е. абстрагироваться от них. Абстракция - это эффективное средство против сложности программирования, позволяющее программисту сосредоточиться на существенных свойствах объектов. Виды абстракций: абстракция процесса и абстракция данных .
Абстракция процесса. Все подпрограммы являются абстракциями процессов, они определяют способ, с помощью которого программа устанавливает, что необходимо выполнить некоторый процесс, без уточнения деталей того, как именно это следует сделать. Возможность абстрагироваться от многочисленных деталей алгоритма, который выполняется подпрограммой, позволяет создавать, читать и понимать большие программы. Любой абстракции данных являются операции, определяемые как абстракции процессов.
Абстракция данных. Абстрактный тип данных - это инкапсуляция, которая содержит только представления данных одного конкретного типа и подпрограммы, которые выполняют операции с данными этого типа. С помощью управления доступом несущественные детали описания типа можно скрыть от внешних модулей, которые используют такой тип. Программные модули, которые используют абстрактный тип данных, могут объявлять переменные этого типа, даже несмотря на то, что реальное представление типа скрыто от них. Экземпляр абстрактного типа данных называется объектом.
Причина создания абстракции типа данных и абстракции процесса - это средство против сложности, способ сделать большие и/или сложные программы более управляемыми.
Разделение программы на синтаксические контейнеры, которые содержат группы логически связанных подпрограмм и данных. Эти синтаксические контейнеры называются модулями, а процесс их разработки- модуляризацией.
Составление программы из наборов подпрограмм и данных, каждый из которых можно компилировать отдельно, без повторной компиляции остальной части программы. Такой набор называется единицей компиляции.
Инкапсуляция - это способ объединения в единое целое подпрограмм и данных, которые они обрабатывают. Инкапсуляция, которая компилируется либо отдельно, либо независимо от других, является основой абстрактной системы и логической организации набора соответствующих вычислений.
Абстрактные типы данных, определяемые пользователем, должны иметь следующие свойства:
1) определение типа, позволяющее программным модулям объявлять переменные этого типа, создавая при этом реальное представление этих переменных в памяти.
2) набор операций для манипуляций с объектами данного типа.
Формальное определение абстрактного типа данных в контексте типов, определенных пользователем: абстрактный тип данных - это тип данных, который удовлетворяет следующим двум условиям.
Представление (определение типа) и операции над объектами данного типа содержатся в одной синтаксической единице, переменные данного типа можно создавать и в других модулях.
Представление объектов данного типа скрыто от программных модулей, использующих этот тип, над объектами можно производить операции, которые прямо предусмотрены в определении типа.
Упаковка представления типа и операций в отдельную синтаксическую единицу, позволяет организовывать программу в виде логических единиц, которые можно компилировать отдельно. Во-вторых, появляется возможность модифицировать представления объектов данного типа или операции с ними в отдельной части программы. У сокрытия деталей представления типа есть преимущества. Клиенты не могут "видеть" детали представления объектов, и их код не зависит от этого представления. Таким образом, представления объектов можно изменять в любое время, не требуя при этом вносить изменения в код клиентов. Другим очевидным и важным преимуществом сокрытия информации является повышенная надежность. Клиенты не могут непосредственно изменять основные представления объектов ни преднамеренно, ни случайно, следовательно, возрастает целостность таких объектов. Объекты можно изменять только с помощью предусмотренных для этого операций.
Вопросы разработки типов
Должна существовать возможность делать имя типа и заголовки подпрограмм видимыми в клиентах абстракции. Это позволяет клиентам объявлять переменные абстрактного типа и манипулировать их значениями. Несмотря на то что имя типа должно быть видимым извне, его определение должно быть скрыто.
Существует очень мало общих встроенных операций, которые можно выполнять с объектами абстрактных типов, в отличие от операций, предусмотренных определением типа. К таким операциям относятся присваивания, а также проверки равенства и неравенства. Если язык не позволяет пользователям перегружать операцию присваивания, то она должна быть встроенной. Проверки равенства и неравенства в одних случаях должны быть заранее определены, а в других - нет. Разработчик типа должен определить операции для большинства абстрактных типов данных сам.
Языки Smalltalk, C++ и Java непосредственно поддерживают абстрактные типы данных.
Абстрактные типы данных в языке C++
Языки Ada и Modula-2 обеспечивают инкапсуляцию, которая может использоваться при моделировании абстрактных типов данных, в языке C++ введено понятие класса, который непосредственно поддерживает абстрактные типы данных. В языке C++ классы - это типы, а пакеты языка Ada и модули языка Modula-2 типами не являются. Пакеты и модули импортируются, позволяя импортирующей программной единице объявлять переменные любого типа, определенного в пакете или модуле. В программе на языке C++ переменные объявляются как сущности, имеющие тип данного класса. Таким образом, классы гораздо больше похожи на встроенные типы, чем пакеты или модули. Программная единица, которая видит пакет в языке Ada или модуль в языке Modula-2, имеет доступ к любым открытым сущностям просто по их именам. Программная единица на языке C++, которая объявляет экземпляр класса, также имеет доступ к любым открытым сущностям в этом классе, но только через экземпляр этого класса.
Разработка абстрактных моделей для данных и способов обработки этих данных является важнейшим компонентом в процессе решения задач с помощью компьютера. Примеры этого мы видим и на низком уровне в повседневном программировании (например, при использовании массивов и связных списков, рассмотренных в ), и на высоком уровне при решении прикладных задач (как при решении задачи связности с помощью леса объединение-поиск в "Введение"). В настоящей лекции рассматриваются абстрактные типы данных ( abstract data type , в дальнейшем АТД), позволяющие создавать программы с использованием высокоуровневых абстракций. Абстрактные типы данных позволяют отделять абстрактные (концептуальные) преобразования, которые программы выполняют над данными, от любого конкретного представления структуры данных и любой конкретной реализации алгоритма.
Все вычислительные системы основаны на уровнях абстракции: определенные физические свойства кремния и других материалов позволяют принять абстрактную модель бита, который может принимать двоичные значения 0-1; затем на динамических свойствах значений определенного набора битов строится абстрактная модель машины; далее, на основе принципа работы машины под управлением программы на машинном языке строится абстрактная модель языка программирования; и, наконец, строится абстрактное понятие алгоритма, реализуемое в виде программы на языке C++. Абстрактные типы данных дают возможность продолжать этот процесс дальше и разрабатывать абстрактные механизмы для определенных вычислительных задач на более высоком уровне, чем это обеспечивается системой C++, разрабатывать абстрактные механизмы , ориентированные на конкретные приложения и подходящие для решения задач в многочисленных прикладных областях, а также создавать абстрактные механизмы более высокого уровня, в которых используются эти базовые конструкции. Абстрактные типы данных предоставляют в наше распоряжение расширяемый до бесконечности набор инструментальных средств для решения все новых и новых задач.
С одной стороны, применение абстрактных конструкций освобождает от забот по их детальной реализации; с другой стороны, когда производительность программы важна, необходимо знать затраты на выполнение базовых операций. Мы используем множество базовых абстракций, встроенных в аппаратные средства компьютера и служащих основой для машинных инструкций; реализуем другие абстракции в программном обеспечении; и используем дополнительные абстракции, предоставляемые написанным ранее системным программным обеспечением. Абстрактные конструкции высокого уровня часто создаются на основе более простых конструкций. На всех уровнях действует один и тот же основной принцип: необходимо найти наиболее важные операции в программах и наиболее важные характеристики данных, а затем точно определить те и другие на абстрактном уровне и разработать эффективные конкретные механизмы для их реализации. В настоящей лекции мы рассмотрим множество примеров применения этого принципа.
Для разработки нового уровня абстракции потребуется (1) определить абстрактные объекты, с которыми необходимо манипулировать, и операции , которые должны выполняться над ними; (2) представить данные в некоторой структуре данных и реализовать операции ; (3) и (самое главное) обеспечить, чтобы эти объекты было удобно использовать для решения прикладных задач. Эти пункты применимы и к простым типам данных, так что базовые механизмы для поддержки типов данных, которые были рассмотрены в "Элементарные структуры данных" , можно адаптировать для наших целей. Однако язык C++ предлагает важное расширение механизма структур, называемое классом ( class ). Классы исключительно полезны при создании уровней абстракции и поэтому рассматриваются в качестве основного инструмента, который используется для этой цели в оставшейся части книги.
Определение 4.1. Абстрактный тип данных (АТД) - это тип данных (набор значений и совокупность операций для этих значений), доступ к которому осуществляется только через интерфейс. Программу, которая использует АТД, будем называть клиентом, а программу, содержащую спецификацию этого типа данных - реализацией.
Именно слово только делает тип данных абстрактным: в случае АТД клиентские программы не имеют доступа к значениям данных никаким другим способом, кроме операций, описанных в интерфейсе. Представление этих данных и функции, реализующие эти операции , находятся в реализации и полностью отделены интерфейсом от клиента. Мы говорим, что интерфейс является непрозрачным: клиент не может видеть реализацию через интерфейс .
В программах на языке C++ это различие обычно проводится немного четче, так как проще всего создать интерфейс , включив в него представление данных , но указав, что клиентским программам не разрешен прямой доступ к данным. Другими словами, разработчики клиентских программ могут знать представление данных , но никоим образом не могут его использовать.
В качестве примера рассмотрим интерфейс типа данных для точек ( программа 3.3) из раздела 3.1 "Элементарные структуры данных" . В этом интерфейсе явно объявляется, что точки представлены как структуры, состоящие из пары чисел с плавающей точкой, обозначаемых x и у. Подобное применение типов данных является обычным в больших системах программного обеспечения: мы разрабатываем набор соглашений о представлении данных (а также определяем ряд связанных с ними операций) и делаем эти правила доступными через интерфейс , чтобы ими могли пользоваться клиентские программы, входящие в состав большой системы. Тип данных обеспечивает согласованность всех частей системы с представлением основных общесистемных структур данных. Какой бы хорошей такая стратегия ни была, она имеет один изъян: если необходимо изменить представление данных , то потребуется изменить и все клиентские программы. Программа 3.3 снова дает нам простой пример: одна из причин разработки этого типа данных - удобство работы клиентских программ с точками, и мы ожидаем, что в случае необходимости у клиентов будет доступ к отдельным координатам точки. Но мы не можем перейти к другому представлению данных (скажем, к полярным координатам, или трехмерным координатам, или даже к другим типам данных для отдельных координат) без изменения всех клиентских программ.
В отличие от этого, программа 4.1 содержит реализацию абстрактного типа данных, соответствующего типу данных из программы 3.3, но с использованием класса языка C++, в котором сразу определены как данные, так и связанные с ними операции . Программа 4.2 является клиентской программой, работающей с этим типом данных. Эти две программы выполняют те же самые вычисления, что и программы 3.3 и 3.8. Они иллюстрируют ряд основных свойств классов, которые мы сейчас рассмотрим.
Когда мы пишем в программе определение наподобие int i, мы указываем системе зарезервировать область памяти для данных (встроенного) типа int , к которой можно обращаться по имени i. В языке C++ для подобных сущностей имеется термин объект . При записи в программе такого определения, как POINT p, говорят, что создается объект класса POINT , к которому можно обращаться по имени p. В нашем примере каждый объект содержит два элемента данных, с именами x и у. Как и в случае структур, к ним можно обращаться по именам вроде p.y.
Элементы данных x и у называются данными-членами класса. В классе могут быть также определены функции-члены, которые реализуют операции , связанные с этим типом данных. Например, класс , определенный в программе 4.1, имеет две функции-члена с именами POINT и distance .
Клиентские программы, такие как программа 4.2, могут вызывать функции-члены, связанные с объектом, указывая их имена точно так же, как и имена данных, находящихся в какой-нибудь структуре struct. Например, выражение p.distance(q) вычисляет расстояние между точками p и q (такое же расстояние должен возвращать и вызов q.distance(p) ). Функция POINT() - первая функция в программе 4.1 - является особой функцией-членом, называемой конструктором: у нее такое же имя, как и у класса, и она вызывается тогда, когда требуется создать объект этого класса.
Программа 4.1. Реализация класса POINT (точка)
В этом классе определен тип данных , который состоит из набора значений, представляющих собой "пары чисел с плавающей точкой" (предполагается, что они интерпретируются как точки на декартовой плоскости), а также две функции-члена, определенные для всех экземпляров класса POINT : функция POINT() , которая является конструктором, инициализирующим координаты случайными значениями от 0 до 1, и функция distance(POINT) , вычисляющая расстояние до другой точки. Представление данных является приватным ( private ), и обращаться к нему или модифицировать его могут только функции-члены. Сами функции-члены являются общедоступными ( public ) и доступны для любого клиента. Код можно сохранить, например, в файле с именем POINT .cxx.
#include
Программа 4.2. Программа-клиент для класса POINT (нахождение ближайшей точки)
Эта версия программы 3.8 является клиентом, который использует АТД POINT , определенный в программе 4.3. Операция new создает массив объектов POINT (вызывая конструктор POINT () для инициализации каждого объекта случайными значениями координат). Выражение a[i].distance(a[j]) вызывает для объекта a[i] функцию-член distance с аргументом a[j] .
#include
Определение POINT p в программе-клиенте приводит к выделению области памяти под новый объект и затем (с помощью функции POINT() ) к присвоению каждому из двух его элементов данных случайного значения в диапазоне от 0 до 1.
Этот стиль программирования, который иногда называется объектно-ориентированным программированием, полностью поддерживается конструкцией class языка C++. Класс можно считать расширением понятия структуры, где не только объединяются данные, но и определяются операции с этими данными. Может существовать много разных объектов, принадлежащих одному классу, но все они подобны в том, что их данные-члены могут принимать один и тот же набор значений, и с этими данными-чле-нами может выполняться одна и та же совокупность операций - в общем, это экземпляры одного и того же типа данных. В объектно-ориентированном программировании объекты предназначены для обработки своих данных-членов (в отличие от использования независимых функций для обработки данных, хранимых в объектах).
Мы рассматриваем описанный выше пример небольшого класса просто чтобы познакомиться с основными чертами классов; поэтому он далеко не полон. В реальном коде для класса точки у нас будет намного больше операций. Например, в программе 4.1 отсутствуют даже операции , позволяющие узнавать значения координат x и y . Как мы увидим, добавление этих и других операций - довольно простая задача. В части 5 мы более подробно рассмотрим классы для точки и других геометрических абстракций, например, линий и многоугольников.
В языке C++ (но не в С) у структур также могут быть связанные с ними функции. Ключевое различие между классами и структурами связано с доступом к информации, который характеризуется ключевыми словами
1.2. Абстрактные типы данных
Большинство понятий, введенных в предыдущем разделе, обычно излагаются в начальном курсе программирования и должны быть вам знакомы. Новыми могут быть только абстрактные типы данных, поэтому сначала обсудим их роль в процессе разработки программ. Прежде всего сравним абстрактный тип данных с таким знакомым понятием, как процедура.
Процедуру, неотъемлемый инструмент программирования, можно рассматривать как обобщенное понятие оператора. В отличие от ограниченных по своим возможностям встроенных операторов языка программирования (сложения, умножения и т.п.), с помощью процедур программист может создавать собственные операторы и применять их к операндам различных типов, не только базовым. Примером такой процедуры-оператора может служить стандартная подпрограмма перемножения матриц.
Другим преимуществом процедур (кроме способности создавать новые операторы) является возможность использования их для инкапсулирования частей алгоритма путем помещения в отдельный раздел программы всех операторов, отвечающих за определенный аспект функционирования программы. Пример инкапсуляции: использование одной процедуры для чтения входных данных любого типа и проверки их корректности. Преимущество инкапсуляции заключается в том, что мы знаем, какие инкапсулированные операторы необходимо изменить в случае возникновения проблем в функционировании программы. Например, если необходимо организовать проверку входных данных на положительность значений, следует изменить только несколько строк кода, и мы точно знаем, где эти строки находятся.
Определение абстрактного типа данных
Мы определяем абстрактный тип данных (АТД) как математическую модель с совокупностью операторов, определенных в рамках этой модели. Простым примером АТД могут служить множества целых чисел с операторами объединения, пересечения и разности множеств. В модели АТД операторы могут иметь операндами не только данные, определенные АТД, но и данные других типов: стандартных типов языка программирования или определенных в других АТД. Результат действия оператора также может иметь тип, отличный от определенных в данной модели АТД. Но мы предполагаем, что по крайней мене один операнд или результат любого оператора имеет тип данных, определенный в рассматриваемой модели АТД.
Две характерные особенности процедур - обобщение и инкапсуляция, - о которых говорилось выше, отлично характеризуют абстрактные типы данных. АТД можно рассматривать как обобщение простых типов данных (целых и действительных чисел и т.д.), точно так же, как процедура является обобщением простых операторов (+,- и т.д.). АТД инкапсулирует типы данных в том смысле, что определение типа и все операторы, выполняемые над данными этого типа, помещаются в один раздел программы. Если необходимо изменить реализацию АТД, мы знаем, где найти и что изменить в одном небольшом разделе программы, и можем быть уверенными, что это не приведет к ошибкам где-либо в программе при работе с этим типом данных. Более того, вне раздела с определением операторов АТД мы можем рассматривать типы АТД как первичные типы, так как объявление типов формально не связано с их реализацией. Но в этом случае могут возникнуть сложности, так как некоторые операторы могут инициироваться для более одного АТД и ссылки на эти операторы должны быть в разделах нескольких АТД.
Для иллюстрации основных идей, приводящих к созданию АТД, рассмотрим процедуру greedy из предыдущего раздела (листинг 1.3), которая использует простые операторы над данными абстрактного типа LIST (список целых чисел). Эти операторы должны выполнить над переменной newclr типа LIST следующие действия.
1. Сделать список пустым.
2. Выбрать первый элемент списка и, если список пустой, возвратить значение null.
3. Выбрать следующий элемент списка и возвратить значение null, если следующего элемента нет.
4. Вставить целое число в список.
Возможно применение различных структур данных, с помощью которых можно эффективно выполнить описанные действия. (Подробно структуры данных будут рассмотрены в теме 2.) Если в листинге 1.3 заменить соответствующие операторы выражениями
MAKENULL(newcJr);
w:= FIRST(newcJr);
w:= NEXT(newcfr);
INSERT(v, newclr);
то будет понятен один из основных аспектов (и преимуществ) абстрактных типов данных. Можно реализовать тип данных любым способом, а программы, использующие объекты этого типа, не зависят от способа реализации типа - за это отвечают процедуры, реализующие операторы для этого типа данных.
Вернемся к абстрактному типу данных GRAPH (Граф). Для объектов этого типа необходимы операторы, которые выполняют следующие действия.
1. Выбирают первую незакрашенную вершину.
2. Проверяют, существует ли ребро между двумя вершинами.
3. Помечают вершину цветом.
4. Выбирают следующую незакрашенную вершину.
Очевидно, что вне поля зрения процедуры greedy остаются и другие операторы, такие как вставка вершин и ребер в граф или помечающие все вершины графа как незакрашенные. Различные структуры данных, поддерживающие этот тип данных, будут рассмотрены в темах 6 и 7.
Необходимо особо подчеркнуть, что количество операторов, применяемых к объектам данной математической модели, не ограничено. Каждый набор операторов определяет отдельный АТД. Вот примеры операторов, которые можно определить для абстрактного типа данных SET (Множество).
1. MAKENULL(A), Эта процедура делает множество А пустым множеством.
2. UNION(A, В, С). Эта процедура имеет два "входных" аргумента, множества А и В, и присваивает объединение этих множеств "выходному" аргументу - множеству С.
3. SIZE(A). Эта функция имеет аргумент-множество А и возвращает объект целого типа, равный количеству элементов множества А. Термин реализация АТД подразумевает следующее: перевод в операторы языка программирования объявлений, определяющие переменные этого абстрактного типа данных, плюс процедуры для каждого оператора, выполняемого над объектами АТД. Реализация зависит от структуры данных, представляющих АТД. Каждая структура данных строится на основе базовых типов данных применяемого языка программирования, используя доступные в этом языке средства структурирования данных. Структуры массивов и записей - два важных средства структурирования данных, возможных в языке Pascal. Например, одной из возможных реализаций переменной S типа SET может служить массив, содержащий элементы множества S.
Одной из основных причин определения двух различных АТД в рамках одной модели является то, что над объектами этих АТД необходимо выполнять различные действия, т.е. определять операторы разных типов. В этом конспекте рассматривается только несколько основных математических моделей, таких как теория множеств и теория графов, но при различных реализациях на основе этих моделей определенных АТД будут строиться различные наборы операторов.
В идеале желательно писать программы на языке, базовых типов данных и операторов которого достаточно для реализации АТД. С этой точки зрения язык Pascal не очень подходящий язык для реализации различных АТД, но, с другой стороны, трудно найти иной язык программирования, в котором можно было бы так непосредственно декларировать АТД. Дополнительную информацию о таких языках программирования см. в библиографических примечаниях в конце темы.
Приложение к рабочей программе по дисциплине «Структуры и алгоритмы обработки данных в ЭВМ»
Абстрактный тип данных "Список".
Список – последовательность элементов определенного типа a 1 , a 2 , ..., a n , где n https://pandia.ru/text/78/308/images/image001_307.gif" width="13" height="16">1, то a 1
Называется первым элементом, а an – последним элементом списка. Элементы списка линейно упорядочены в соответствии с их позицией в списке. Элемент ai предшествует элементу ai +1 для i = 1,2, n -1 и ai следует за ai -1 для i = 2,3, n . Каждый элемент списка ai имеет позицию i , i =1,2, n . В списке существует позиция, означающая конец списка – nil . Она следует за последним элементом списка.
Операторы АТД "Список":
1. INSERT(x , р, L ). Этот оператор вставляет объект х в позицию р в списке L, перемещая элементы от позиции р и далее в следующую, более высокую позицию. Таким образом, если список L состоит из элементов a 1 , a 2 , ..., а n а1, а2, ..., ар-1, х, ар, ..., a n. . Если р принимает значение nil , то будем иметь a 1 , a 2 , ..., a n , , х . Если в списке L нет позиции р, то результат выполнения этого оператора не определен.
2. LOCATE (x , L ). Эта функция возвращает позицию объекта х в списке L. Если в списке объект x встречается несколько раз, то возвращается позиция первого от начала списка объекта х. Если объекта х нет в списке L , то возвращается nil .
3. RETRIEVE (p , L ). Эта функция возвращает элемент, который стоит в позиции р в списке L. Результат не определен, если р = nil или в списке L нет позиции р.
4. DELETE (p , L ). Этот оператор удаляет элемент в позиции р списка L. Так, если список L состоит из элементов a 1 , a 2 , ..., а n , то после выполнения этого оператора он будет иметь вид а1, а2, ...,, ap - i , ap + i , ..., а n. Результат не определен, если в списке L нет позиции р или р = nil .
5. NEXT(p, L ) и PREVIOUS(p, L ). Эти функции возвращают соответственно следующую и предыдущую позиции от позиции р в списке L. Если р - последняя позиция в списке L, то NEXT(p , L ) = nil . Функция NEXT не определена, когда р= nil . Функция PREVIOUS не определена, если р = 1. Обе функции не определены, если в списке L нет позиции р.
6. MAKENULL ( L ) . Эта функция делает список L пустым и возвращает позицию nil .
7. FIRST (L ). Эта функция возвращает первую позицию в списке L. Если список пустой, то возвращается позиция nil .
8. PRINTLIST (L ). Печатает элементы списка L в порядке их расположения в списке.
Представление списка с помощью массива:
Представление списка с помощью односвязного списка:
Обозначения:
· – указатель на начало списка,
· last - указатель на последний элемент в списке,
· maxlenght – максимальная длина (количество элементов) в списке.
Представление списка с помощью двусвязного списка:
Упражнения:
1. Напишите программы вставки, удаления и поиска элементов отсортированного списка, используя для реализации списка
§ массив,
§ указатели.
2. Напишите программу для слияния
§ двух отсортированных связных списков,
§ n отсортированных связных списков,
3. Дан многочлен вида
р(х) = с1 х e 1 + c 2 xe 2 + + с n х n , где е1 > е2 > ... > e n > 0.
Такой многочлен можно представить в виде связанного списка, где каждый элемент имеет три поля: одно - для коэффициента с i второе - для показателя степени е i третье - для указателя на следующий элемент. Для описанного, представления многочленов напишите программу сложения и умножения многочленов, используя это представление.
4. Реализуйте АТД LIST (Список) для любого типа данных и его операторы INSERT, LOCATE, RETRIEVE, DELETE, NEXT, PREVIOUS, MAKENULL, PRINTLIST:
§ список задан в виде массива,
§ список задан в виде односвязного списка,
§ список задан в виде двусвязного списка.
Раздел рабочей программы 2.1.2
Абстрактный тип данных "Стек".
Стек - это специальный тип списка, в котором все вставки и удаления выполняются только на одном конце, называемом вершиной , (top). Для стека используется метод доступа LIFO (last-in-first-out - последний вошел - первый вышел).
Операторы АТД "Стек":
1. MAKENULL (S ). Делает стек S пустым.
2. TOP (S ). Возвращает элемент из вершины стека S. Обычно вершина стека идентифицируется позицией 1, тогда TOP(S) можно записать в терминах общих операторов списка как RETRIEVE(FIRST(S), S).
3. POP (S ). Удаляет элемент из вершины стека (выталкивает из стека), в терминах операторов списка этот оператор можно записать как DELETE(FIRST(S), S ).
4. PUSH (x , S ). Вставляет элемент х в вершину стека S (заталкивает элемент в стек). Элемент, ранее находившийся в вершине стека, становится элементом, следующим за вершиной, и т. д. В терминах общих операторов списка данный оператор можно записать как INSERT(;c, FIRST(S), S ).
5. EMPTY (S ) . Эта функция возвращает значение true (истина), если стек S пустой, и значение false (ложь) в противном случае.
массива:
Представление стека с помощью односвязного списка:
Упражнения:
Реализуйте АТД STACK(Стек) для любого типа данных и его операторы MAKENULL, TOP, POP, PUSH, EMPTY.
§ стек задан в виде массива,
§ стек задан в виде односвязного списка.
Раздел рабочей программы 2.1.2
Абстрактный тип данных "Очередь".
Очередь (queue) - это специальный тип списка, где элементы вставляются с одного конца, называемого задним (rear), а удаляются с другого, переднего (front). Очереди также называют "списками типа FIFO" (аббревиатура FIFO расшифровывается как first-in-first-out: первым вошел - первым вышел). Операторы, выполняемые над очередями, аналогичны операторам стеков. Существенное отличие между ними состоит в том, что вставка новых элементов осуществляется в конец списка , а не в начало, как в стеках.
Операторы АТД "Очередь":
1. MAKENULL (Q ) очищает очередь Q, делая ее пустой.
2. FRONT (Q ) - функция, возвращающая первый элемент очереди Q. Можно реализовать эту функцию с помощью операторов списка как RETRIEVE(FIRST(Q), Q).
3. ENQUEUE (a , Q ) вставляет элемент х в конец очереди Q.
С помощью операторов списка этот оператор можно выполнить следующим образом: INSERT(x, END(Q), Q).
4. DEQUEUE (Q ) удаляет первый элемент очереди Q. Также реализуем с помощью операторов списка как DELETE(FIRST(Q), Q).
5. EMPTY (Q ) возвращает значение true тогда и только тогда, когда Q является пустой очередью.
циклического массива:
Обозначения:
Q – очередь,
Q . front – указатель на начало очереди,
Q . rear - укаазатель на конец очереди.
Представление очереди с помощью односвязного списка:
Упражнения:
Реализуйте АТД QUEUE (Очередь) для любого типа данных и его операторы MAKENULL, FRONT, ENQUEUE, DEQUEUE, EMPTY.
§ очередь задана в виде циклического массива,
§ очередь задана в виде двусвязного списка.
Абстрактный тип данных "Дерево".
Дерево - это совокупность элементов, называемых узлами (один из которых определен как корень ), и отношений ("родительских"), образующих иерархическую структуру узлов. Узлы, так же, как и элементы списков, могут быть элементами любого типа. Формально дерево можно рекуррентно определить следующим образом.
1. Один узел является деревом. Этот же узел также является корнем этого дерева.
2. Пусть п - это узел, a T 1 , Т2, ..., Tk - деревья с корнями n 1 . n 2 , ..., nk соответственно. Можно построить новое дерево, сделав п родителем узлов n 1 . n 2 , ..., nk . В этом дереве п будет корнем, a T 1 , Т2, ..., Tk - поддеревьями этого корня. Узлы n 1 . n 2 , ..., nk называются сыновьями узла п.
Часто в это определение включают понятие нулевого дерева , т. е. "дерева" без узлов, такое дерево обозначается словом nill .
Пример: О главление книги, схематически можно представить деревом. Отношение родитель-сын отображается в виде линии. Деревья обычно рисуются сверху вниз так, что родители располагаются выше "детей".
DIV_ADBLOCK135">
Высотой узла дерева называется длина самого длинного пути из этого узла до какого-либо листа. В примере высота узла Гл.1 равна 1, узла Гл.2 - 2, а узла Гл. З - 0. Высота дерева совпадает с высотой корня. Глубина узла определяется как длина пути (он единственный) от корня до этого узла.
Сыновья узла обычно упорядочиваются слева направо. Поэтому два дерева на рисунке различны, так как порядок сыновей узла а различен. Если порядок сыновей игнорируется, то такое дерево называется неупорядоченным , в противном случае дерево называется упорядоченным .
Операторы АТД "Дерево":
1. PARENT (n , Т). Эта функция возвращает родителя (parent) узла п в дереве Т. Если п является корнем, который не имеет родителя, то в этом случае возвращается nill . Здесь nill указывает на то, что произошел выход за пределы дерева.
2. LEFTMOST __ CHILD (n , Т). Данная функция возвращает самого левого сына узла n в дереве Т. Если n является листом (и поэтому не имеет сына), то возвращается nill .
3. RIGHT _ SIBLING (n , Т). Эта функция возвращает правого брата узла п в дереве Т или значение nill , .если такового не существует. Для этого находится родитель р узла п и все сыновья узла р, затем среди этих сыновей находится узел, расположенный непосредственно справа от. узла п.
4. LABEL (n , T ). Возвращает метку узла n . дерева Т. Для выполнения этой функции требуется, чтобы на узлах дерева были определены метки.
5. CREATE (v , T 1 , T 2 , ..., Ti ,) - это cемейство функций, которые для каждого i = 0, 1, 2,... создают новый корень r с меткой v и далее для этого корня создает i сыновей, которые становятся корнями поддеревьев T 1 , Т2, .... Ti ;. Эти функции возвращают дерево с корнем r . Отметим, что если i = 0, то возвращается один узел r , который одновременно является и корнем, и листом.
6. ROOT (T ) возвращает узел, являющимся корнем дерева T , Если T - пустое дерево, то возвращается nill .
7. MAKENULL (T ). Этот оператор делает дерево T пустым деревом.
Представление дерева с помощью массива родителей:
Представление дерева с помощью связанных списков:
Представление дерева посредством, левых сыновей и правых братьев.
Обозначения в рисунке:
nodespace – массив узлов дерева,
cellspase – массив списков сыновей узлов,
Упражнения:
1. Дано дерево:
DIV_ADBLOCK137">
§ дерево задано в виде массива записей узлов, содержащих индекс самого левого сына, индекс правого брата и метку,
§ связное двоичное дерево задано с помощью указателей на левого и правого сыновей.
4. Напишите функции обхода двоичного дерева в прямом, обратном и симметричном порядке.
Раздел рабочей программы 2.1.3
Абстрактный тип данных "Множество".
Множество обычно изображается в виде последовательности его элементов, заключенной в фигурные скобки, например {1, 4} обозначает множество, состоящее из двух элементов, - чисел 1 и 4. Порядок, в котором записаны элементы множества, не существен, поэтому можно писать {4, 1} так же, как и {1, 4}, при записи одного и того же множества. Множество не является списком (хотя бы по признаку произвольного порядка записи элементов). В множестве отсутствуют повторяющиеся элементы ({1, 4, 1} не является множеством).
Фундаментальным понятием теории множеств является понятие отношения принадлежности к множеству , обозначаемое символом . Таким образом, запись х х не принадлежит множеству А ", т. е. х не является элементом множества А . Существует специальное множество, обозначаемое символом , которое называется пустым, множеством , и которое не имеет элементов. Множество DIV_ADBLOCK138">
Говорят, что множество А содержится в множестве В (или включается в множество В), пишется A В или В А , если любой элемент множества А является также элементом множества В. В случае A В также говорят, что множество А является подмножеством множества В.
Например, {1, 2} https://pandia.ru/text/78/308/images/image019_36.gif" width="15" height="15 src=">В и А В, то множество А называют собственным, истинным или строгим подмножеством множества В.
Основными операциями, выполняемыми над множествами, являются операции объединения, пересечения и разности. Объединением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и В.
Пересечением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат и множеству А , и множеству В. Разностью множеств А и В (обозначается A \ B ) называется множество, состоящее только из тех элементов множества А , которые не принадлежат множеству В .
Например, если А = {а, b, с} и В= {b, а}, то А В= {а, b, с, d}, A В = { b } и А \ В = {а, с}.
Операторы АТД “Множество”:
1. UNION (A , В, С) А и В С, равное А В.
2. INTERSECTION (A , В, С) имеет "входными" аргументами множества А и В , а в качестве результата - "выходное" множество С, равное А В. .
3. DIFFERENCE (A , В, С) имеет "входными" аргументами множества А и В , а в качестве результата - "выходное" множество С, равное А\ В.
4. MERGE ( A , В, С) оператор выполняет слияние (merge ), или объединение непересекающихся множеств . Этот оператор не отличается от оператора. UNION , но здесь предполагается, что множества-операнды не пересекаются (т. е. не имеют общих элементов). Оператор присваивает множеству С значение А В , но результат будет не определен, если А В , т. е. в случае, когда множества А и В имеют общие элементы.
5. member (х, А ) имеет аргументами множество А и объект х того же типа, что и элементы множества А , и возвращает булево значение true (истина), еcли х a", "b", "с"})= "а". Подобным образом определяется оператор МАХ .
11.EQUAL (A , В ) возвращает значение true тогда и только тогда, когда множества А и В состоят из одних и тех же элементов.
12. FIND (x ) оперирует в среде, где есть набор непересекающихся множеств. Он возвращает имя (единственное) множества, в котором есть элемент х.
Представление множества:
Множество можно задать с помощью массива или связного списка.
Упражнения:
1. Заданы два множества А = {1, 2, 3} и В = {3, 4, 5}. Каков будет результат выполнения следующих операторов?
· UNION(A. В. С),
· INTERSECTION(A, В, С),
· DIFFERENCE(A. В. С),
· MEMBER(l. A),
· INSERT(1,А),
· DELETE(1, А),
2. Реализуйте АТД “Множество” для любого типа данных и его операторы MAKENULL, UNION, INTERSECTION, MEMBER, MIN.
· множество задано с помощью массива фиксированной длины и указателя на последнюю занятую позицию в массиве,
· множество задано с помощью несортированного связного списка,
· множество задано с помощью отсортированного связного списка,
Раздел рабочей программы 2.1.3
Дерево двоичного поиска - структура данных для представления множеств, чьи элементы упорядочены посредством некоторого отношения линейного порядка. На деревьях двоичного поиска можно реализовать операторы множества INSERT , DELETE , MEMBER и MIN , причем время их выполнения в среднем имеет порядок O (log n) для множеств, состоящих из п элементов.
Характерным для дерева двоичного поиска является то, что его узлы помечены элементами множеств (узлы дерева содержат элементы множества). Причем, все элементы, хранящиеся в узлах левого поддерева любого узла х, меньше элемента, содержащегося в узле х, а все элементы, хранящиеся в узлах правого поддерева узла х, больше элемента, содержащегося в узле х.
Примеры двоичного дерева:
https://pandia.ru/text/78/308/images/image023_7.jpg" width="277" height="122 src=">
Представление АВЛ-дерева не отличается от представления двоичного дерева поиска.
Другой разновидностью сбалансированного дерева поиска является 2-3 дерево. Структура 2-3 дерева отличается от структуры дерева двоичного поиска.Для 2-3 дерева характерно, что все узлы имеют 2 или 3 сына, все пути от корня до листа имеют одинаковую длину и все элементы множества содержатся в листьях. Узлы 2-3 дерева делятся на внутренние и терминальные (листья). Внутренние узлы используются только для маршрутизации поиска в дереве. Каждый внутренний узел содержит ключи наименьших элементов второго и третьего сына (если есть третий сын)и указатели на узлы сыновей.
Представление связного дерева двоичного поиска:
Представление сбалансированного связного 2-3 дерева:
Упражнения:
1. Нарисуйте все возможные деревья двоичного поиска для четырех элементов 1, 2, 3 и 4.
2. Вставьте целые числа 7, 2, 9, 0, 5, 6, 8, 1 в пустое дерево двоичного поиска.
3. Покажите результат удаления числа 7, а затем числа 2 из дерева, полученного в предыдущем упражнении.
4. Нарисуйте 2-3 дерево, которое получится в результате вставки в пустое множество (представленное как 2-3 дерево) элементов 5, 2, 7, 0, 3, 4, 6, 1, 8, 9.
5. Покажите результат удаления элемента 3 из 2-3 дерева, полученного в предыдущем упражнении.
3. Реализуйте АТД “Дерево поиска” для любого типа данных и его операторы INSERT, DELETE, MEMBER и MIN.
· дерево задано в виде связного двоичного дерева
· дерево задано в виде 2-3 дерева
Раздел рабочей программы 2.1.3
Абстрактный тип данных "Словарь".
Словарь – множество, предназначенное для хранения "текущих" объектов с периодической вставкой или удалением некоторых из них. Время от времени также возникает необходимость узнать, присутствует ли конкретный элемент в данном множестве. Словарь реализуется с помощью АТД “Словарь” с операторами INSERT, DELETE и MEMBER . В набор операторов словаря также входит оператор MAKENULL для инициализации структур данных АТД.
Словарь можно представить с помощью хеш-таблицы. Таблица строится на основе следующей идеи: потенциальное множество элементов (возможно, бесконечное) разбивается на конечное число классов. Для В классов, пронумерованных от 0 до В -1 , строится хеш-функция h такая, что для любого элемента х исходного множества функция h(x} принимает целочисленное значение из интервала 0, ..., В - 1, которое, соответствует классу, которому принадлежит элемент х. Элемент х часто называют ключом, h( x) - хеш -значением х, а "классы" – сегментами . Поспособу разрешения коллизий хеширования (два элемента множества имеют одинаковое значение h(x) ) применяется открытое и закрытое хеширование.
открытой хеш-таблицы
Массив, называемый таблицей сегментов и проиндексированный номерами сегментов 0, 1,...,В - 1 , содержит заголовки для В связных списков. Элемент i -го списка - это элемент исходного множества, для которого h (.х:) = i .
Представление словаря с помощью закрытой хеш-таблицы
В таблице сегментов хранятся непосредственно элементы словаря. Поэтому в каждом сегменте можно хранить только один элемент словаря. При закрытом хешировании применяется методика повторного хеширования . При попытке поместить элемент x в сегмент с номером h ( x ) , который уже занят другим элементом выбирается последовательность номеров сегментов h 1 ( x ) ,h 2 ( x ) , … , куда можно поместить элемент. Последовательно проверяется занятость каждого из этих сегментов, пока не будет найден свободный сегмент. В него помещается элемент x . Для задания номеров сегментов при повторном хешировании применяются различные методы разрешения коллизий. Например, метод линейного хеширования, метод середины квадрата, метод случайного хеширования
Упражнения:
1. Предположим, что для хеширования целых чисел в 7-сегментную хеш-таблицу используется хеш-функция h(i) = i % 7.
· приведите результирующую хеш-таблицу, если в нее вставляются точные кубы 1, 8, 27,64,125, 216,343;
· повторите предыдущий пункт для закрытой хеш-таблицы с линейной методикой разрешения коллизий.
2. Предположим, что есть закрытая хеш-таблица с 5 сегментами, хеш-функцией h(i) = i % 5 и линейной методикой разрешения коллизий. Покажите результат вставки в первоначально пустую хеш-таблицу последовательности чисел 23, 48, 35, 4, 10.
3. Реализуйте АТД “Словарь” для текстовых строк и его операторы INSERT, DELETE, MEMBER и MAKENULL
· словарь задан с помощью открытой хеш-таблицы,
· словарь задан с помощью закрытой хеш-таблицы с линейной методикой разрешения коллизий,
Раздел рабочей программы 2.1.3
Абстрактный тип данных " Отображение".
Отображение - это множество, на элементах которого определена функция отображения элементов одного типа (области определения ) на элементы другого типа (области значений ) другого типа. Отображение М ставит в соответствие элемент d типа domaintype из области определения элементу r типа rangetype из области значений: M (d ) = r .Пустое отображение не содержит никаких элементов
Операторы АТД "Отображение":
1. MAKENULL (M ). Делает отображение М пустым.
2. ASSIGN(М d, r). Делает M (d ) равным r независимо от того, как M (d ) было определено ранее.
3. COMPUTE(M, d, r). Возвращает значение true и присваивает переменной r значение M (d ), если последнее определено, и возвращает false в противном случае.
Представление отображения: отображение можно эффективно реализовать с помощью хеш-таблиц. Здесь x задает значение из области определения отображения, а элемент таблицы с номером h ( x ) – элемент из области значений.
Раздел рабочей программы 2.1.3
Очередь с приоритетами - это множество, для элементов которого задана функция приоритета (priority), т. е. для каждого элемента x множества можно вычислить функцию р( x )- приоритет элемента x , которая обычно принимает значения из множества действительных чисел, или, в более общем случае, из некоторого линейно упорядоченного множества.
АТД “Очередь с приоритетом” основано на АТД “Множество” с операторами INSERT и DELETEMIN , а также с оператором MAKENULL для инициализации структуры данных. Оператор INSERT для очереди с приоритетами понимается в обычном смысле, тогда как DELETEMIN является функцией, которая возвращает элемент с наименьшим приоритетом и в качестве побочного эффекта удаляет его из множества.
Представление очереди с помощью упорядоченного двузвязного списка.
Основная идея такой реализации заключается в том, чтобы организовать элементы очереди в виде двоичного дерева. На нижнем уровне, где некоторые листья могут отсутствовать, все отсутствующие листья могут располагаться только справа от присутствующих листьев нижнего уровня. Более существенно, что дерево частично упорядочено . Это означает, что приоритет узла v не больше приоритета любого сына узла v , где приоритет узла - это значение приоритета элемента, хранящегося в данном узле. Из рисунке видно, что малые значения приоритетов не могут появиться на более высоком уровне, где есть большие значения приоритетов.
При выполнении функции DELETEMIN возвращается элемент с минимальным приоритетом, который должен быть корнем дерева. Чтобы не разрушить дерево и сохранить частичную упорядоченность значений приоритетов на дереве после удаления корня, выполняются следующие действия: на самом нижнем уровне находится самый правый узел и временно помещается в корень дерева. Затем этот элемент спускается по ветвям дерева вниз (на более низкие уровни), по пути меняясь местами с сыновьями, имеющими меньший приоритет, до тех пор, пока этот элемент не станет листом или не встанет в позицию, где его сыновья будут иметь по крайней мере не меньший приоритет.
Представление очереди с помощью массива, содержащего узлы частично упорядоченного дерева:
В массиве A первые n позиций соответствуют n узлам дерева. Элемент A содержит корень дерева. Левый сын узла дерева A [ i ], если он существует, находится в ячейке A , а правый сын, если он существует – в ячейке A . И наоборот, если сын находится в ячейке A [ i ], то его родитель в ячейке A [ i %2] . Узлы дерева заполняют ячейки A , A , … A [ n ] последовательно уровень за уровнем, начиная с корня, а внутри уровня – слева направо. Дерево, показанное выше, будет представлено в массиве следующей последовательностью своих узлов: 3, 5, 9, 6, 8, 9, 10, 10, 18, 9.
Упражнения:
1. Нарисуйте частично упорядоченное дерево, полученное в результате вставки в пустое дерево целых чисел 5, 6, 4, 9, 3, 1 и 7. Каков будет результат последовательного применения к этому дереву трех операторов DELETEMIN?
2. Реализуйте АТД “Очередь с приоритетами” для любого типа данных и его операторы INSERT, DELETEMIN и MAKENULL
§ частично упорядоченное дерево реализуется с помощью указателей,
§ частично упорядоченное дерево реализуется с помощью массива.
Раздел рабочей программы 2.1.3
Абстрактный тип данных " Объединение множеств".
АТД представляет собой объединение объектов, каждый из которых является множеством. Основные действия, выполняемые над такой совокупностью, заключаются в объединении множеств в определенном порядке, а также в проверке принадлежности определенного объекта конкретному множеству. Эти задачи решаются с помощью операторов MERGE (Слить) и FIND (Найти). Оператор MERGE(A , В, С ) делает множество С равным объединению множеств А и В , если эти множества не пересекаются (т. е. не имеют общих элементов); этот оператор не определен, если множества А и В пересекаются. Функция FIND(x ) возвращает множество, которому принадлежит элемент х; в случае, когда х принадлежит нескольким множествам или не принадлежит ни одному, значение этой функции не определено.
Операторы АТД “Объединение множеств”:
1. MERGE (A , В) объединяет компоненты А и. В, результат присваивается или А, или В.
2. FIND (x ) - функция, возвращающая имя компонента, которому принадлежит х.
3. INITIAL (A , х ) создает компонент с именем А, содержащим только элемент х.
Представление объединения множеств с помощью массивов:
Имя множества совпадает со значением индекса массива setheaders (имя 0)
Обозначения:
setheaders – массив заголовков множеств:
§ с ount – число элементов в множестве,
§ firstelement – индекс массива names с первым элементом множества,
names – массив списков элементов множеств:
Раздел рабочей программы 2.1.3
Абстрактный тип данных “ Ориентированный граф”
Основные определения:
Ориентированный граф (орграф ) G = (V, Е) состоит из множества вершин V и множества дуг Е. Вершины также называются узлами , а дуги - ориентированными ребрами . Дуга представима в виде упорядоченной пары вершин (u , w ), где вершина и называется началом , a w - концом дуги.
Говорят также, что дуга и -> w ведет от вершины и к вершине w, а вершина w смежная с вершиной v .
Пример 1 орграфа:
Вершины орграфа можно использовать для представления объектов, а дуги - для отношений между объектами.
Путем в орграфе называется последовательность вершин v 1 , v 2 , … , vn , , для которой существуют дуги v 1 -> v 2 , v 2 , -> v 3, , ..., vn -1 , -> vn . Этот путь начинается в вершине v 1 и, проходя через вершины v 2 , v 3 , ..., vn -1 заканчивается в вершине vn . Длина пути - количество дуг, составляющих путь, в данном случае длина пути равна п - 1 . Как особый случай пути рассмотрим одну вершину v как путь длины 0 от вершины v к этой же вершине v . На рисунке последовательность вершин 1, 2, 4 образуют путь длины 2 от вершины 1 к вершине 4.
Путь называется простым , если все вершины на нем, за исключением, может быть, первой и последней, различны. Цикл - это простой путь длины не менее 1, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине. На рисунке вершины 3, 2, 4, 3 образуют цикл длины 3.
Во многих приложениях удобно к вершинам и дугам орграфа присоединить какую-либо информацию. Для этих целей используется помеченный орграф , т. е. орграф, у которого каждая дуга и/или каждая вершина имеет соответствующие метки. Меткой может быть имя, вес или стоимость (дуги), или значение данных какого-либо заданного типа.
Пример 2 помеченного орграфа:
DIV_ADBLOCK149">
3. Алгоритм транзитивного замыкания (алгоритм Уоршелла):
Для графа G = (V , E ) алгоритм вычисляет матрицу транзитивности T , каждый элемент которой T [i , j ] = 1 только тогда, когда существует путь от вершины i к вершине j и T [ i , j ] = 0 в противном случае.
4. Алгоритм нахождения центра орграфа:
Пусть и - произвольная вершина орграфа G = (V ,Е}. Эксцентриситет (максимальное удаление) вершины и определяется как
max{минимальная длина пути от вершины w до вершины v }
w V
Центром орграфа G называется вершина с минимальным эксцентриситетом. Другими словами, центром орграфа является вершина, для которой максимальное расстояние (длина пути) до других вершин минимально.
Пример: Центром орграфа является вершина d
Эксцентр-т |
||
| ||
5. Алгоритм обхода орграфа в глубину (поиска в глубину):
При решении многих задач, касающихся ориентированных графов, необходим эффективный метод систематического обхода вершин и дуг орграфов. Таким методом является так называемый поиск в глубину - обобщение метода обхода дерева в прямом порядке. Поиск в глубину начинается с выбора начальной вершины v графа G, эта вершина помечается меткой visited (посещалась). Затем для каждой вершины, смежной с вершиной v и которая не посещалась ранее, рекурсивно применяется поиск в глубину. Когда все вершины, которые можно достичь из вершины v , будут "удостоены" посещения, поиск заканчивается. Если некоторые вершины остались не посещенными, то выбирается одна из них и поиск повторяется. Этот процесс продолжается до тех пор, пока обходом не будут охвачены все вершины орграфа G .
6. Алгоритм построения глубинного остовного дерева графа:
При обходе графа методом поиска в глубину только определенные дуги ведут к непосещённым вершинам. Такие дуги, ведущие к новым вершинам, называются дугами дерева и формируют для графа остовный лес, построенный методом поиска в глубину – глубинный остовный лес . При построении леса еще выделяются 3 типа дуг: обратные, прямые и поперечные.. Обратные дуги - такие дуги, которые в остовном лесе идут от потомков к предкам. Прямыми дугами называются дуги, идущие от предков к истинным потомкам, но которые не являются дугами дерева.
Дуги, соединяющие вершины, не являющиеся ни предками, ни потомками друг друга, называются поперечными дугами . Если при построении остовного дерева сыновья одной вершины располагаются слева направо в порядке их посещения и если новые деревья добавляются в лес также слева направо, то все поперечные дуги идут справа налево.
Например, дуги D ->С и G->D – поперечные, дуга C -> A – обратная, прямых дуг нет.
При глубинном обходе дерева часто удобно нумеровать вершины в порядке их посещения. Такие номера называются глубинными.
Представление орграфа:
§ Представление орграфа с помощью матрицы смежности:
Матрица смежности для орграфа G - это матрица А размером n n со значениями булевого типа, где A [ i , j ] = true тогда и только тогда, когда существует дуга из вершины i в вершину j. Часто в матрицах смежности значение true заменяется на 1, а значение false - на 0.
Обобщением представления орграфа с помощью матрицы смежности можно считать представление помеченного орграфа также посредством матрицы смежности, но у которой элемент A [ i , j ] равен метке дуги i -> j . Если дуги от вершины i к вершине j не существует, то значение A[i , j ] не может быть значением какой-либо допустимой метки, а может рассматриваться как "пустая" ячейка.
Матрица смежности для помеченного орграфа (пример 2):
§ Представление орграфа с помощью списков смежности:
Списком смежности для вершины i называется список всех вершин, смежных с вершиной i , причем определенным образом упорядоченный. Орграф G можно представить посредством массива HEAD (Заголовок), чей элемент HEAD [i ] является указателем на список смежности вершины i .
 |
Операторы АТД “Орграф”:
Наиболее общие операторы, выполняемые над ориентированными графами, включают операторы чтения меток вершин и дуг, вставки и удаления вершин и дуг и оператор перемещения по последовательностям дуг.
Для просмотра множества смежных вершин необходимы следующие три оператора.
1. FIRST(v ) возвращает индекс первой вершины, смежной с вершиной v . Если вершина v не имеет смежных вершин, то возвращается "нулевая" вершина nil .
2. NEXT(v , i ) возвращает индекс вершины, смежной с вершиной v, следующий за индексом i. Если i - это индекс последней вершины, смежной с вершиной v, то возвращается nil .
3. VERTEX(v ,i ) возвращает вершину с индексом i из множества вершин, смежных с v .
Упражнения:
Дан ориентированный граф (орграф):
https://pandia.ru/text/78/308/images/image043_12.gif" width="125" height="100 src=">
Пример несвязного графа:
Циклом (простым) называется путь (простой) длины не менее 3 от какой-либо вершины до нее самой. Граф называется циклическим , если имеет хотя бы один цикл. Связный ациклический граф, представляющий собой "дерево без корня", называют свободным деревом . На втором рисунке, приведенном выше, показан граф, состоящий из двух связных компонент, каждая из которых является свободным деревом. Свободное дерево можно сделать "обычным" деревом, если какую-либо вершину назначить корнем, а все ребра сориентировать в направлении от этого корня.
Свободные деревья имеют два важных свойства:
1. Каждое свободное дерево с числом вершин n , n > 1 , имеет в точности n - 1 ребер.
2. Если в свободное дерево добавить новое ребро, то обязательно получится цикл.
Пусть G = (V , Е) - связный граф, в котором каждое ребро (r , w ) помечено числом с(v , w), которое называется стоимостью ребра . Остовным деревом графа G называется свободное дерево, содержащее все вершины V графа G. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех ребер, входящих в это дерево
Основные алгоритмы обработки неориентированных графов:
1. Построение остовного дерева минимальной стоимости (алгоритм Прима):
Строится множество вершин U , из которого "вырастает" остовное дерево. Пусть V= {1, 2, ..., n }. Сначала U = {1}. На каждом шаге алгоритма находится ребро наименьшей стоимости (u , v ) такое, что u U и v V\U , затем вершина v переносится из множества V \ U в множество U . Этот процесс продолжается до тех пор, пока множество U не станет равным множеству V .
Последовательность построения остовного дерева приведена ниже.
https://pandia.ru/text/78/308/images/image048_12.gif" width="501" height="384 src=">
3. Обход неориентированных графов методом поиска в глубину:
Для систематического обхода всех вершин графа используется поиск в глубину. Алгоритм поиска в глубину аналогичен алгоритму обхода вершин орграфа. Последний используется и для неориентированных графов, поскольку неориентированное ребро (v , w ) можно представить в виде пары ориентированных дуг v -> w и w -> v .
Обход в глубину можно использовать для построения остовного дерева.
Граф и остовное дерево, полученное при обходе его вершин методом поиска в глубину приведены ниже:
4. Обход неориентированных графов методом поиска в ширину
Другой метод систематического обхода вершин графа называется поиском в ширину . Он получил свое название из-за того, что при достижении во время обхода любой вершины v далее рассматриваются все вершины, смежные с вершиной v , т. е. осуществляется просмотр вершин "в ширину". Этот метод также можно применить и к ориентированным графам.
Так же, как и при применении поиска вглубь, посредством метода поиска в ширину при обходе графа создается остовный лес. Если после достижения вершины х при рассмотрении ребра (х, у) вершина у не посещалась ранее, то это ребро считается ребром дерева. Если же вершина у уже посещалась ранее, то ребро (х, у) будет поперечным ребром, так как оно соединяет вершины, не связанные наследованием друг друга.
Остовное дерево, полученное методом поиска в ширину показано ниже.
Представление неориентированного графа с помощью матрицы смежности:
Для представления неориентированных графов можно применять те же методы, что и для представления ориентированных графов, если неориентированное ребро между вершинами v и w рассматривать как две ориентированных дуги от вершины v к вершине w и от вершины w к вершине v.
https://pandia.ru/text/78/308/images/image051_12.gif" width="159" height="106">
Представление неориентированного графа с помощью списков смежности:
https://pandia.ru/text/78/308/images/image053_12.gif" width="339" height="115 src=">
1. Постройте:
остовное дерево минимальной стоимости посредством алгоритма Прима;
остовное дерево минимальной стоимости с помощью алгоритма Крускала;
остовное дерево методом поиска в глубину, начиная с вершин а и d;
остовное дерево методом поиска в ширину, начиная с вершин а и d.
2. Реализуйте алгоритмы Прима и Крускала.
3. Реализуйте построение остовного дерева методом поиска в глубину
§ для неориентированного графа представленного с помощью матрицы смежности,
§ для неориентированного графа представленного с помощью списков смежности.
4. Реализуйте построение остовного дерева методом поиска в ширину
§ для неориентированного графа представленного с помощью матрицы смежности,
§ для неориентированного графа представленного с помощью списков смежности.
