Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.
Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем то одним?
1) 82+32+78=192 чел. – удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2) 192÷2=96 чел. – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96_32=64 чел. – поют в хоре;
4) 96-78=18 чел. – занимаются танцами;
5) 96-82=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой.
1) 82-32=50 чел. – на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;
2) 50+78=128 чел. – удвоенное число студентов поющих в хоре;
3) 128÷2=64 чел. – поют в хоре;
4) 78-64=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой;
5) 82-64=18 чел. – занимаются танцами.
Ответ: 64 студента поют в хоре; 14 студентов занимаются художественной гимнастикой; 18 студентов занимаются танцами.
Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения меду данными и искомыми.
Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справиться с заданием за 2 дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?
1 способ. Пустьx д./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда (x+10) д./день – новая производительность, 3x д. – число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x=2(+10), решив, которое найдем x=20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.
2 способ. Пусть x д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда x/2 д./день – новая производительность, (x/2-10) д./день – первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение x=3(x/2-10), решив которое найдем x=60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.
Ответ: 20 деталей в день, 60 деталей.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее построения используются различные построения или свойства фигур.
Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».
Практический метод. решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.д.)
Т.к. тема нашей курсовой решение текстовых задач алгебраическим способом, именно его рассмотрим более подробно.
Алгебраический метод решения задачи позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличаются друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т.е. имеют одну и туже математическую модель.
Рассмотрим классификацию задач решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств .
Задачи на движение
К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути, скорости и времени. Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении. В этих задачах весьма полезно делать иллюстрированный чертеж, который помогает в составлении уравнений и неравенств.
Данную группу задач, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу, 2) в одном направлении(«вдогонку»), 3) в противоположных направлениях, 4) по замкнутой траектории, 5) по течению реки.
Задачи на работу.
К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе, времени, в течение которого производится работа, производительности – работе, произведенной в единицу времени. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.
Задачи на работу можно отнести к группе задач на движение, т.к. в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по сюжету, фабуле эти задачи совершенно отличаются.
Задачи на смеси и проценты.
К этой группе задач относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты
Мы рассмотрели некоторые классификации задач, а сейчас мы бы хотели рассмотреть более подробно решение задач с помощью математического моделирования.
§3. Решение задач выделением 3-х этапов математического моделирования
Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.
Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?
При разработке математической модели технической конструкции мы первоначально создаем модель на основе естественнонаучных представлений. Действительно, чтобы описать математически полет космической ракеты, необходимо использовать сведения из физики, химии и пограничных с ними наук, применить базовые, широко известные в этих науках, постановки задач, основанные на соответствующих гипотезах и абстракциях. Сами естественные науки, использующие математическое описание, можно считать математическими моделями.
Проблема соотнесения свойств объектов с их числовыми и геометрическими характеристиками есть проблема измеримости их свойств. На каждом структурном уровне организации материи существуют объективные законы, определяющие связь между предметами и явлениями реального мира. На физическом уровне, как сравнительно более простом, удается довольно полно отразить через количественные отношения качественные, глубинные свойства исследуемого процесса. В химических, биологических, социальных науках, изучающих более сложные формы организации и движения материи, вопрос соответствия свойств изучаемых объектов числовым характеристикам, позволяющим осуществить их измерение, становится более трудным, и, в соответствии с этим, возможности математического моделирования сужаются. Используя даже самые совершенные ЭВМ, абсолютной математизации наших знаний добиться невозможно: количественные оценки не могут исчерпать качественных свойств объекта. Захватившая многих исследователей мысль о создании искусственного интеллекта технологическими средствами еще совсем недавно казалась абсолютно реальной. Теперь же термин «искусственный интеллект» нуждается в кавычках: математическая модель мозга, какой бы совершенной она ни была, не сможет отразить качественную сторону творческой деятельности человека, даже если перебор всех возможных вариантов «движения» мысли будет происходить с фантастическим быстродействием современных ЭВМ. А вот в решении технических задач, которые чаще всего базируются на физических законах окружающего мира, математическое моделирование - действенный метод исследования.
Технические науки выделились из математических и естественнонаучных в результате конкретизации, приложения фундаментальных знаний к отдельным областям инженерной деятельности. Это произошло лишь в конце XIX столетия. Развитие любой технической науки во многом определяется ее фундаментальной составляющей. Математическое моделирование начинается с установления связей, которым подчинено существование объекта. При этом моделирование исходит из знаний конкретных технических дисциплин, таких как «Конструирование котлов», «Сваи и фундаменты», «Двигатели внутреннего сгорания» и т.д. (в зависимости от объекта исследования). Далее эти знания обобщаются до уровня фундаментальных понятий, соответствующих общетехническим наукам, например, «сопротивлению материалов», «теории механизмов и машин», «теоретическим основам электротехники». При решении инженерных задач в большей степени такие знания сводятся к физике или химии. Поэтому промежуточной ступенью в создании математической модели является схема, отражающая представление об объекте на уровне естественных наук, описываемая фундаментальными законами материального мира, которые характеризуют функционирование данной конструкции. Математическое описание этих законов завершает первый этап математического моделирования. Последующие этапы создания математической модели должны быть связаны с ее проверкой и уточнением принимаемых гипотез. Естественнонаучное описание происходит на уровне абстракций естественных наук, далее математика «продолжает» абстрагирование, переходя на свой, качественно более высокий уровень, рассматривая специфические для математики идеализированные образы.
Одна и та же техническая задача может сводиться к различным математическим моделям, в то же время сами математические модели, ставшие уже классическими, применимы к решению самых разнообразных задач. Поэтому соответствие между задачами, возникающими на практике, и математическими моделями многозначно. Как справедливо считает ученый и педагог В.А. Успенский, имеет смысл по аналогии с художественными образами говорить о математических образах как о специфической форме отражения действительности. Действительность настолько сложна (а в современной технике такая сложность исключительна), что процесс упрощения становится в реальных условиях совершенно необходимым и наиболее оправданным методом изучения объекта. Искусство выбора математической модели состоит в достижении гармоничного единства простоты и ясности понимания предмета исследования, что, впрочем, соответствует и задачам художественного творчества. Иногда для объектов, свойства которых мало изучены, создается так называемая гипотетическая модель, которая не во всем может быть подтверждена практикой, - к примеру, модель микромира. Вместе с тем, такая гипотеза-модель позволяет расширить наши представления об окружающем мире. Для решения многих инженерных проблем разработаны весьма универсальные математические модели, которые считаются уже классическими. Полученные при помощи них теоретические выводы многократно проверены практикой, установлены границы применимости данных моделей. Такие математические модели позволяют воспользоваться приобретенным опытом решения уже известных задач для изучения новых проблем.
1-й этап. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели.
2-й этап. Создание концептуальной модели , т. е. содержательного описания моделируемого объекта. Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:
− состав и структура объекта;
− причинно-следственные связи между параметрами объекта;
− количество параметров, достаточное для адекватного описания объекта;
− класс исследуемого объекта и создаваемой модели;
− условия функционирования объекта.
На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.
Проблема 1. Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту.
Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы:
− отсутствие эффективных методов исследования такой модели;
− рост затрат на моделирование превысит рост эффекта от внедрения модели.
Нельзя входить и в другую крайность – чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор влияющих факторов, их четкое разграничение наосновные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, второстепенные отброшены (рис. 1.9). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.
Проблема 2. Определение границ применимости создаваемой модели.
Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности).
ПРИМЕР 1.13. Сформировать математическую модель, описывающую процесс падения тела на Землю.
В основе этого явления лежит закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Если в качестве этих двух тел рассматривать металлический шарик и Землю, то на языке математики падение шарика можно описать соотношением:
,
(1.6)
где
– постоянная;
m и М З – масса шарика и Земли,
R – расстояние между центрами притягивающихся тел.
Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила F, то его движение описывается соотношением:
(1.7)
Так
как рассматривается процесс падения
тела, то следует a
заменить на ускорение свободного
падения
.
Тогда модель падения шара примет вид:
или
– (1.8)
это модель в общем виде. Теперь необходимо ее конкретизировать для данных условий проведения эксперимента. Опыт с шаром проводится в лаборатории (т. е. вблизи поверхности Земли). Следовательно, можно принять, что расстояние между центрами Земли и шарика равно радиусу Земли: R= R З. Тогда математическая модель примет вид:
(1.9)
Эта модель позволяет дать исчерпывающее описание процесса падения шара в любой момент времени t: определить высоту h, на которой находится шар, а также его скорость v:
(1.10)
(1.11)
Границы применимости этой модели:
– тело падает с небольшой высоты, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли;
– тело имеет компактную форму и обладает достаточной массой;
– можно пренебречь фактором сопротивления воздуха.
При нарушении хотя бы одного из этих условий данная модель не будет адекватной. Например, эту модель нельзя применить для описания следующих процессов: приземления парашютиста, падения листьев с дерева, падения осколка метеорита на Землю и т. д.
В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).
Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.
Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.
Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.
3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:
– все соотношения записывают в аналитической форме;
– логические условия выражают в виде систем неравенств;
– случайные процессы заменяют их типовыми моделями.
4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.
5-й этап. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.
Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.
Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?
Решение.
пусть х км/ч - скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.
Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4хЧ1,5 км, т.е. 6х км.
Из условия следует, что скорость автобуса равна 2Ч4х км/ч, 8х км/ч. За 2 ч автобус пройдет 8хЧ2 км, т.е. 16х км.
Весь путь от А до D равен: 2х+6х+16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2х+6х+16х=120.
Это математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Сложив одночлены 2х, 6х, 16х, получим 24х. Значит, 24х=120, откуда находим х=5.
За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т.е. 20 км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т.е. 40 км/ч.
Ответ : скорость автобуса 40 км/ч.
Пункты А, В и С расположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (х+6) км/ч - скорость велосипедиста.
Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4(х+6) км; иными словами, АС=4(х+6).
Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км, иными словами, ВС=6х.
По условию мы знаем, что пункты А, В и С следуют друг за другом, поэтому АС-ВС=АВ, т.е. АС-ВС=16. Это основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС=4(х+6), ВС=6х; следовательно,
Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х+6, получим 4х+24. Во-вторых, придется из двучлена 4х+24 вычесть одночлен 6х:
4х+24-6х=24-2х.
После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Мы получили, что х=4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС=6х, значит, ВС=6Ч4=24.
Ответ : расстояние от В до С равно 24 км.
Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2) км/ч, а против течения - со скоростью (х_2) км/ч.
По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.
Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2) км.
По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:
3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.
Это уравнение - математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной математической моделью.
Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель - уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим:
3,2х+6,4+1,5х-3=41;
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.
Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.
В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х - число девочек, у - число мальчиков в седьмом классе.
В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е.
во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т.е.
Математическая модель ситуации составлена:
Второй этап. Работа с составленной математической моделью.
Сначала упростим каждое уравнение системы.
Для первого уравнения имеем:
Для второго уравнения имеем:
Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
Решаем систему методом подстановки. Из первого уравнения системы находим: х=2у-9. Подставим этот результат вместо х во второе уравнение системы находим: х=2у-9. Подставим это результат вместо х во второе уравнение системы. Получим:
Так как х=2у-9, то х=2Ч13-9=17.
Итак, х=17, у=13 - решение системы.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х=17, у=13, т.е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в классе 17+13=30 учеников.
Ответ : 30 учеников.
