Сайт о телевидении

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

• если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
• если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
• если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
• если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
  x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 " - x 7 , где x 1 " ≥ 0, x 7 ≥ 0 .

Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:

L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 " ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.

Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.

Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.

Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.

Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.

Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.

Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:

1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное

решение оптимальное.

2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.

Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.

4. Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k - тый столбец принимаем за ведущий.

6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.

7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.

Заполняем симплексную таблицу 2:

· заполняем базисный столбец нулями и единицей

· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент

· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы

· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”

Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:

Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.

Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.

Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,...n.

Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точно­стью) за конечное число шагов (итераций).

Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-ме­тода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения от­ношения

будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновре­менно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет со­держать нулевые элементы.

задачи линейного программирования

2.1. Определение и формы записи

В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной форме записи.

а) каноническая задача ЛП в координатной форме имеет вид:

,
.

Данную задачу можно записать, используя знак суммирования:

,

,

,
,
.

б) каноническая задача ЛП в векторной форме имеет вид: ,

,

где
;
;

,
;;
.

в) каноническая задача ЛП в матричной форме имеет вид:

,
,

где
,,.

2.2. Приведение общей задачи линейного

программирования к канонической форме

При составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств. Поэтому необходимо уметь переходить от них к системам уравнений. Например, рассмотрим линейное неравенство

и прибавим к его левой части некоторую величину
такую, чтобы неравенство превратилось в равенство.

Неотрицательная переменная
называется дополнительной переменной. Следующая теорема даёт основание для возможности такого преобразования.

Теорема 2.2.1. Каждому решению
неравенства (2.2.1) соответствует единственное решениеуравнения (2.2.2) и неравенства
, и, наоборот, каждому решению уравнения (2.2.2)с
соответствует решение
неравенства (2.2.1).

Доказательство. Пусть
решение неравенства (2.2.1). Тогда. Возьмём число
. Ясно, что
. Подставив в уравнение (2.2.2), получим

Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь векторудовлетворяет уравнению (2.2.2) с
, т.е.. Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину
, получаем, и т.д.

Таким образом, доказанная теорема фактически устанавливает возможность приведения всякой задачи ЛП к каноническому виду. Для этого достаточно в каждое ограничение, имеющее вид неравенства, ввести свою дополнительную неотрицательную переменную. Причём, в неравенства вида (1.2.1) эти переменные войдут со знаком « + », а в неравенствах вида (1.2.2) – со знаком « – ». Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому на её значение не влияют.

Замечание. В дальнейшем мы будем излагать симплекс-метод для канонической задачи ЛП при исследовании целевой функции на минимум. В тех задачах, где требуется найти максимум
, достаточно рассмотреть функцию
, найти её минимальное значение, а затем, меняя знак на противоположный, определить искомое максимальное значение
.

3. Графический метод решения задач

линейного программирования

3.1. Общие понятия, примеры

В тех случаях, когда в задаче ЛП лишь две переменные, можно использовать для решения графический метод. Пусть требуется найти максимальное (минимальное) значение функции
при ограничениях

(3.1.1)

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи, т.е. удовлетворяющих системе (3.1.1), и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений (3.1.1). Каждое из них определяет полуплоскость с границей
,
. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Пересечение этих полуплоскостей образует некоторую область, называемую многоугольником решений, который является выпуклым множеством. (Допустим, что система ограничений совместна, а многоугольник её решений ограничен.) Для нахождения среди допустимых решений оптимального используются линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функцияпринимает постоянное значение. Уравнение линии уровня имеет вид

, где
. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль
.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений, по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей (рис. 1).

Значения
возрастают в направлении вектора
. Поэтому необходимо передвигать линию уровня
в направлении этого вектора параллельно самой себе до опорной прямойL 1 в задаче на максимум и в противоположном направлении – в задаче на минимум (до опорной прямойL 2).

Приведём решение примера 1.1. Напомним, что нужно найти максимум функции
при ограничениях

Решение. Строим область допустимых решений. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат (рис. 2) строим прямую

, соответствующую ограничению (1). Находим, какая из полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решений неравенства (1).

Для этого достаточно координаты какой - либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая не проходит через начало координат, подставляем
в первое ограничение. Получим строгое неравенство
. Следовательно, точка
лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямую

и область решений ограничения (2). Находим общую часть полуплоскостей решений, учитывая ограничения (3). Полученную область допустимых решений выделим на рис.2 тёмным цветом.

Строим линию уровня
и вектор
, который указывает направление возрастания функциии перпендикулярен прямой

. Линию уровня
перемещаем параллельно самой себе в направлении
до опорной прямой. Получим, что максимума целевая функция достигнет в точке
точке пересечения прямыхи. Решая систему из уравнений этих прямых
, получим координаты точки
. Следовательно,, а
,
оптимальное решение.

Пример 3.1. Найти минимум функции
при системе ограничений

Решение. Строим область допустимых решений (см. рис.3), вектор
и одну из линий уровня
. Перемещаем линию уровня в направлении, противоположном
, так как решается задача на отыскание минимума функции. Опорная прямая проходит в этом случае через точку А (рис.3), координаты которой найдём из решения системы

Итак,
. Вычисляем.

Замечание. В действительности от вида области допустимых решений и целевой функции
задача ЛП может иметь единственное решение, бесконечное множество решений или не иметь ни одного решения.

Пример 3.2. Найти минимум функции
при ограничениях

Решение. Строим область допустимых решений, нормаль линий уровня
и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью. Перемещаем линию уровняв направлении, противоположном направлению нормали, так как решается задача на отыскание минимума функции. Нормаль линий уровня
и нормаль граничной прямой, в направлении которой перемещаются линии уровня, параллельны, так как их координаты пропорциональны
. Следовательно, опорная прямая совпадает с граничной прямойобласти допустимых решений и проходит через две угловые точки этой областии(рис.4).

Задача имеет бесконечное множество оптимальных решений, являющихся точками отрезка
. Эти точки
,
находим, решая соответствующие системы уравнений:

;
;

,
;
,
;

;
.

Вычисляем .

Ответ:
при
,
.

Пример 3.3. Решить задачу линейного программирования

Решение. Строим область допустимых решений, нормаль
и одну из линий уровня. В данной задаче необходимо найти максимум целевой функции, поэтому линию уровняперемещаем в направлении нормали. Ввиду того, что в этом направлении область допустимых решений не ограничена, линия уровня уходит в бесконечность (рис.5).

Задача не имеет решения вследствие неограниченности целевой функции.

Ответ:
.

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной записи.

1. Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид

.

В более компактной форме данную задачу можно записать, используя знак суммирования,

(1.7)

2. Каноническая задача линейного программирования в векторной записи имеет вид

(1.8)

где ,

.

3. Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид

(1.9)

, .

Здесь А – матрица коэффициентов системы уравнений, Х – матрица-столбец переменных задачи, – матрица-столбец правых частей системы ограничений.

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными , которые в матричной записи имеют вид

(1.10)

(1.11)

1.4. Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений. С этой целью докажем следующую теорему.

Теорема 1.1. О замене неравенства уравнением. Каждому решению неравенства

соответствует единственное решение уравнения

и неравенства

, (1.14)

и, наоборот, каждому решению уравнения (1.13) и неравенства (1.14) соответствует единственное решение неравенства (1.12).

Доказательство. Пусть – решение неравенства (1.12), тогда . Обозначим разность правой и левой частей этого неравенства через , т. е.

Очевидно . Подставим в уравнение (1.13) вместо переменных значения , получим

Таким образом, удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14). Значит доказана первая часть теоремы.

Пусть теперь удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14), т. е. имеем

И

Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину , получаем

т. е. удовлетворяет неравенству (1.12). Теорема доказана.

Если неравенство , то дополнительную неотрицательную переменную необходимо ввести в его левую часть со знаком минус, т. е. .

Неотрицательные переменные, вводимая в ограничения неравенства для превращения их в уравнения, называются дополнительными переменными . Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.

В том случае, когда задача имеет произвольно изменяющиеся переменные, то любую такую переменную заменяют разностью двух неотрицательных переменных, т. е. , где и .

Иногда возникает необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций на оптимальных решениях отличаются только знаком.

Пример 1.1. Привести к каноническому виду задачу линейного программирования.

Решение . Перейдем к задаче на отыскание максимума целевой функции. Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции. Для превращения в уравнения второго и третьего неравенств системы ограничений введем неотрицательные дополнительные переменные (на математической модели эта операция отмечена буквой Д). Переменная вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид . Переменная вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид . В целевую функцию переменные вводятся с коэффициентом, равным нулю. Переменную , на которую не наложено условие неотрицательности заменяем разностью , . Записываем задачу в каноническом виде

В некоторых случаях возникает необходимость приведения канонической задачи к симметричной задаче. Рассмотрим пример.

Пример 1.2. Привести к симметричному виду задачу линейного программирования

Cтраница 1

Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация, линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.  

Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.  

Каноническая форма задачи линейного программирования удобна тем, что легко находится начальная вершина допустимой области.  

Рассмотрим каноническую форму задачи линейного программирования и метод исключения Жордана - Гаусса.  

Часто оказывается удобной каноническая форма задачи линейного программирования.  

При преобразовании системы ограничений к канонической форме задачи линейного программирования неравенства (12) и (13) должны быть заменены равенствами. Для этого вводят дополнительные неотрицательные переменные.  

Доказать, что попарно коммутирующие вещественные матрицы одновременно приводятся к канонической форме задачи 1128 преобразованием подобия посредством ортогональной матрицы.  

По существу (4) - (5) можно рассматривать как каноническую форму задачи нелинейного программирования, поскольку методы, изложенные в гл. Обычно в задачах нелинейного программирования не выдвигается требование целочисленности переменных.  

Каноническая форма задачи характеризуется однородностью системы ограничений в виде системы уравнений; максимизацией целевой функции; условием неотрицательности всех переменных, участвующих в задаче.  

Никаких дополнительных особенностей каноническая форма задач в рассматриваемую вычислительную схему не добавляет.  

Рассмотрим сначала вторую каноническую форму задачи на минимум.  

Алгоритм симплекс-мете да гложно разбить на два этапа. На первом этапе исключением переменных находят базисное решение. Если оно найдено, то мы имеем каноническую форму задачи для перехода ко второму этапу. На втором этапе проверяют, есть ли ограниченный оптимум. Если он существует то определяются допус - тимые базисные решанпя ив которых выбирается оптимальное.  

Если решается задача в канонической форме, то используется лишь часть введенных во втором параграфе операций. Так, для канонической задачи на минимум реализуется только случай пункта 3.4.1, и нужны лишь операции циклической перестановки столбцов, прогонки столбца через зону вертикального окаймления, исправления структурных нарушений и часть операции усечения. Симметрично, при решении канонической задачи на максимум реализуется только случай пункта 3.4.2, и нужны операции циклической перестановки строк, прогонки строки через зону горизонтального окаймления, исправления структурных нарушений и другая часть операции усечения. В остальном никакой дополнительной специфики каноническая форма задачи не добавляет.  

В первом параграфе введения было показано, как общую задачу линейного программирования можно свести к одной из канонических форм. Для канонически (же задач описание метода последовательного улучшения формально упрощается, так как отпадает необходимость рассматривать два варианта нарушения условий оптимальности и два варианта выхода в следующую вершину. Однако при этом увеличиваются размеры базисной матрицы А [ /, J ], которые в основном и определяют трудоемкость одного шата. Тем не менее, во многих случаях применение метода к каноническим формам задачи оказывается предпочтительным, и в этом параграфе мы остановимся на вариантах метода, получающихся для частных задач линейного программирования.  

Страницы:      1

Аналитическим методом решения задачи линейного программирования является симплексный метод. Для его применения задачи ЛП, представленные различным образом, должны быть приведены к канонической форме. Задача линейного программирования, записанная в виде (2.1.1)-(2.1.3), представляет собой развернутую форму записи общей задачи линейного программирования (ЗЛП).

Канонической задачей линейного программирования (КЗЛГТ) будем называть следующую задачу:

при ограничениях, имеющих вид равенств,

Если для задачи в форме (2.3.1)-(2.3.4) выполняется условие т = п, то ее решение сводится к решению системы уравнений

• (2.3.2) . При этом задача не будет иметь решений, если условие
• (2.3.3) не выполняется или система уравнений не имеет решения.

условие т

• 1. Для перехода от задачи максимизации целевой функции (2.3.1) к задаче минимизации достаточно взять все коэффициенты Cj целевой функции с обратными знаками и решить полученную задачу на максимум. После нахождения максимума значение целевой функции надо взять с обратным знаком. Оптимальное решение останется прежним.
• 2. Для перехода от ограничения типа «меньше или равно» к равенству в него необходимо со знаком «плюс»:

3. Для перехода от ограничения типа «больше или равно» к равенству в него необходимо ввести дополнительную неотрицательную переменную со знаком «минус»:

При этом в каждое неравенство вводится своя (п + /)-я дополнительная переменная.

• 4. Все равенства, имеющие отрицательные свободные члены, делятся на -1, для того чтобы выполнялось условие (2.3.4).
• 5. Если на некоторую переменнуюXj не накладывается условие неотрицательности , то делают замену переменных Xj=х". - х" x"j > 0, х"> 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные.

Имеет место утверждение, что любую ЗЛП можно привести к канонической форме.

Пример 2.3.1. Преобразуем задачу, приведенную в примере 2.2.2, в каноническую форму. Целевая функция и система ограничений выглядят следующим образом:

Введем в первое неравенство дополнительную переменную jc 3 > 0 со знаком «плюс», во второе х 4 > 0 со знаком «минус» и в третье х 5 > 0 также со знаком «плюс». В результате получим систему ограничений задачи в канонической форме:

При этих ограничениях нужно найти максимальное значение функции:

Рассмотрим экономический смысл дополнительных переменных в канонической задаче оптимального использования ресурсов.

Пример 2.3.2. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах) [ 17 J.

В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов трех видов: труд (80 человекодней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станкочасов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и о доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 2.3.1.

Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором ее общая стоимость будет максимальной.

Экономико-математическая модель задачи Переменные : х х,х 2 , х 3 , х 4 - количество ковров каждого типа. Целевая функция - это общая стоимость продукции, которую необходимо максимизировать:

Ограничения по ресурсам :

Приведем задачу к канонической форме, вводя дополнительные переменные х 5 , х 6 и х 7:

Далее будет показано, что оптимальным планом выпуска продукции является вектор X* = (0; 30; 10; 0), значение целевой функции равно 150, т.е. для максимизации общей стоимости продукции необходимо выпустить 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. Подставим оптимальные значения вектора X в ограничения КЗЛП:

Получим, что ресурсы «труд» и «оборудование» используются полностью, ресурс «сырье» имеется в избытке:

В этом случае х в показывает, что сырья осталось 200 кг.

Таким образом, основные переменные x v х 2 , х 3 , х л означают количество ковров каждого типа, а дополнительные переменные х 5 , х 6 их 7 - объем недоиспользованных ресурсов.

Ответ. Оптимальный план выпуска продукции X* = (0; 30;

10; 0).

Планом , или допустимым решением , КЗЛП называется вектор X = (jc p х 2 ,..., х п ), удовлетворяющий условиям (2.3.2)-(2.3.4).

Если все компоненты базисного решения системы ограничений КЗЛП неотрицательны, то такое решение называется опорным решением или опорным планом. Число положительных компонент опорного плана не может превышать т.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным.

Оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции (2.3.1).

Множество всех планов ЗЛП (если они существуют) является выпуклым многогранником. Каждой угловой (крайней) точке многогранника решений соответствует опорный план (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый опорный план определяется системой т линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из п векторов Д, Д,..., А п. Если существует оптимальный план, то существует такая угловая точка многогранника решений, в которой линейная функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.

Для отыскания оптимального плана достаточно исследовать только опорные планы. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в задаче, определяется числом сочетаний С т п (см. параграф 1.4).

Пример 2.3.3. Получить решение задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (решить ЗЛ П):

Решение. Приведем задачу к каноническому виду путем введения дополнительных переменныхх 3 , х 4 и х 5:

Найдем все опорные планы системы ограничений данной КЗЛП (л? - 5; /77 - 3); их количество не превышает 10:

Используя метод Жордана - Гаусса (см. параграф 1.4), выписываем все базисные решения системы уравнений (табл. 2.3.2).

Среди десяти базисных решений пять опорных:

Указанным опорным планам на рис. 2.3.1 отвечают соответственно следующие угловые точки и значения ЦФ в них:

Рис. 2.3.1.

Согласно теории ЛП оптимальное решение содержится среди опорных планов.

Таким образом, максимальное значение, равное 2300, целевая функция достигает в точке В на опорном плане Х 5 = (70; 80; 0; 60; 0).

Ответ. Оптимальный план задачи: х { = 70, х 2 = 80, значение целевой функции f(x v х 2) = 2300.