Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

3.1. Описание

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях.

Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным конусом.

Уравнение W(x) = c, где W(x) – максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. При этом экстремальная задача приобретает следующую формулировку: требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причем их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.

Сущность симплекс-метода состоит в том, что если число неизвестных больше числа уравнений, то данная система неопределенная с бесчисленным множеством решений. Для решения системы все неизвестные произвольно подразделяются на базисные и свободные. Число базисных переменных определяется числом линейно-независимых уравнений. Остальные неизвестные свободные. Им придаются произвольные значения и затем подставляются в систему. Любому набору свободных неизвестных можно придать бесчисленное множество произвольных значений, которые дадут бесчисленное множество решений. Если все свободные неизвестные приравнять к нулю, то решение будет состоять из значений базисных неизвестных. Такое решение называется базисным.

В теории линейного программирования существует теорема, которая утверждает, что среди базисных решений системы можно найти оптимальное, а в некоторых случаях – несколько оптимальных решений, причем все они обеспечат экстремум целевой функции. Таким образом, если найти какой-то базисный план и затем улучшить его, то получится оптимальное решение. На этом принципе построен симплекс-метод.

Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

1. нахождение исходной вершины множества допустимых решений;

2. последовательный переход от вершины к вершине, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

В некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, – например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно есть допустимое решение, хотя, скорее всего, далеко не оптимальное). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод соответственно делится на однофазный и

двухфазный .

3.2. Алгоритм симплекс-метода

Усиленная постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z, где:

Здесь x – переменные из исходного линейного функционала; x s – новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство переходит в равенство; c – коэффициенты исходного линейного функционала; Z – переменная, которую необходимо максимизировать. Полупространства и в пересечении образуют многогранник, представляющий множество допустимых решений. Разница между числом переменных и уравнений даёт число степеней свободы. Проще говоря, если рассматривать вершину многогранника, это есть число рёбер, по которым можно продолжать движение.

Тогда можно присвоить такому числу переменных значение 0 и назвать

Основная идея модифицированного симплекс-метода заключается в использовании текущей обратной матрицы (и исходных данных задачи) при выполнении вычислений, необходимых для определения включаемой и исключаемой переменных. Представление обратной матрицы в мультипликативной форме позволяет вычислять последовательность обратных матриц непосредственно по исходным данным без использования многократных операций обращения каждого базиса. Как и в обычном симплекс-методе, в данном случае исходный базис всегда представляет собой единичную матрицуI, обратной к которой является сама эта матрица. Поэтому, если
- последовательность обратных матриц, соответствующих итерациям 1, 2,…,i, а
- последовательность соответствующих им матриц, то

Последовательность подстановок приводит к следующей формуле:

(2.23)

Следует подчеркнуть, что мультипликативное представление обратной матрицы не является необходимой процедурой для реализации вычислительной схемы модифицированного симплекс-метода, и на каждой итерации можно применять любой из способов обращения текущего базиса. При использовании модифицированного симплекс-метода важно то, что обратные матрицы вычисляются способом, позволяющим уменьшить влияние машинных ошибок округления.

Шаги алгоритма модифицированного симплекс-метода, по существу, такие же, как и в алгоритме обычного симплекс-метода. После нахождения начального базиса Iопределяется соответствующий ему вектор коэффициентов целевой функции, элементы которого формируются в зависимости от того, являются ли начальные базисные переменные остаточными (избыточными) или искусственными.

1. 2.7.2. Мультипликативное представление обратной матрицы

При мультипликативном представлении обратной матрицы используется операция алгебры матриц, позволяющая вычислять элементы матрицы, обратной к новой матрице базисных векторов, по известной обратной матрице предыдущего базиса при условии, что два рассматриваемых базиса отличаются только одним вектор-столбцом. Такой способ представления обратной матрицы удобно использовать именно в вычислительной схеме симплекс-метода, так как базисы, соответствующие каждым двум последовательным итерациям, отличаются лишь одним столбцом (в результате замены исключаемого вектор-столбца текущего базиса новым вектор-столбцом). Другими словами, текущая базисная матрица и новая базисная матрица
, соответствующая следующей итерации, отличаются только одним столбцом. При мультипликативном представлении обратной матрицы
, соответствующей новому базису, она вычисляется путём умножения слева обратной текущей матрицы
на формируемую по определённым правилам матрицу.

Определим единичную матрицу следующим образом:

(2.24)

где - единичный вектор-столбец сi-м элементом, равным единице, и остальными элементами, равными нулю. Допустим, что известны матрицыи
, и векторматрицызаменяется новым вектором; как принято при описании симплекс-метода, векторопределяется как включаемый в базис, а вектор- как исключаемый из базиса. Для упрощения записи математических соотношений используем следующее определение
,при этомбудет представлять собойk-й элемент
. Тогда новую обратную матрицу
можно вычислить по следующей формуле:

(2.25)

при условии, что
. Если
, матрицы
не существует. Заметим, что матрицаполучается из матрицыпутём замены еёr-го вектор-столбцастолбцом.

С учетом возможностей современных ППП, использующих модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матрицы, отнесение очередного вектора к классу векторов, обеспечивающих совместность или несовместность, требует проведения всего нескольких итераций после модификации обобщенной матрицы  

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД  

Вычислительная схема, основанная на преобразовании обратных матриц. Анализируя вычислительную процедуру симплекс-метода с позиций оценки трудоемкости, нетрудно заметить, что наиболее критичным в этом плане является э ап пересчета значений А и b при переходе от одного базисного плана к другому (п. 3 алгоритма). Однако в том случае, когда число ограничений задачи m явно меньше количества переменных я, можно добиться существенной экономии, выполняя на очередной итерации q преобразование Жордана-Гаусса не над матрицей Л(р() по Д Чр(ведущий столбец аЧр О. Данные соображения положены в основу вычислительной схемы симплекс-метода , основанной на преобразовании обратных матриц, которую также называют модифицированным симплекс-методом. Впервые данный алгоритм был предложен в 1951 г. в работах Л. В. Канторовича.  

Вычислительной схеме модифицированного симплекс-метода соответствует система таблиц 7] и T q). Таблица 7J (рис. 1.7) является общей для всех итераций и служит для получения  

По аналогии с п. 1.4.1 опишем формальную схему алгоритма модифицированного симплекс-метода.  

В завершение подчеркнем, что в силу приведенных выше преимуществ именно модифицированный симплекс-метод реально применяется в программном обеспечении , предназначенном для решения канонических задач линейного программирования.  

Пример решения ЗЛП модифицированным симплекс-методом. Приведем решение рассмотренной ранее задачи (1.34)-(1.35), основанное на использовании процедуры модифицированного симплекс-метода. По аналогии с п. 1.4.3  

Еще раз вернемся к таблице Т (рис. 1.8), получаемой на финальной итерации процедуры модифицированного симплекс--метода. Более подробно рассмотрим нулевую строку матрицы A 4p(

Таким образом, существенным преимуществом модифицированного симплекс-метода является то, что он позволяет одновременно найти оптимальные планы как прямой, так и двойственной задачи.  

В заключение отметим, что в настоящем параграфе был рассмотрен вариант двойственного алгоритма, соответствующий стандартному симплекс-методу . Нетрудно догадаться, что существует и вариант, построенный на базе модифицированного симплекса (схемы, связанной с преобразованием обратных матриц), но, поскольку этот вопрос представляет интерес в основном с точки зрения техники организации вычислений, мы на нем останавливаться не будем. При желании с глубоким и детальным описанием данной версии алгоритма можно ознакомиться в . Отметим лишь, что она обладает теми же принципиальными преимуществами, что и модифицированный симплекс-метод.  

Модифицированный симплекс-метод - вычислительная схема, связанная с преобразованием обратных матриц.  

Сформулируйте основные отличия модифицированного симплекс-метода по отношению к стандартному.  

Перечислите преимущества модифицированного симплекс-метода.  

Будет ли отличаться количество итераций при решении одной и той же задачи при решении ее стандартным и модифицированным симплекс-методом  

Метод разложения (декомпозиции) был разработан для решения задач линейного программирования большой размерности, имеющих блочную структуру. Его вычислительная процедура главным образом основана на идеях модифицированного симплекс-метода. Однако значение метода Данцига-Вулфа состоит не только и (не столько) в его вычислительных преимуществах, сколько в возможности дать содержательную экономическую интерпретацию . Метод предусматривает разложение исходной задачи (5.6)-(5.9) на локальные задачи, соответствующие обособленным частям объединения (в данном случае предприятиям), и главную задачу (соответствует объединению в целом и связывает эти локальные задачи).  

Р. Б. Д у б и н а, К. Е. Ч е р н и н. Программа образования и записи на М. Б. матрицы для модифицированного симплекс-метода.- Сборник программ для ЭВМ Урал. Л., Аркт. и антаркт. ин-т, 1966.  

Среди методов нахождения оптимального решения наибольшее распространение приобрёл метод последо -ват. улучшения допустимого решения (МНУ), к-рый имеет большое число вычислит, реализаций (

Модифицированный симплекс-метод

В модифицированном методе матрица

не пересчитывается, хранится и пересчитывается только матрица. В остальном алгоритм похож на вышеописанный.

1. Вычисляем двойственные переменные

2. Проверка оптимальности. преобразуется в.

Проверка заключается в вычислении для всех столбцов. Столбец со значением < 0 можно вводить в базис.

Часто выбирают минимальное значение, но для этого нужно перебрать все столбцы.

Чаще выбирают значение, меньшее некоторого заданного значения

Если такого столбца не обнаружится, за принимается максимальное найденное абсолютное значение и соответствующий столбец вводится в базис.

3. Определение выводимого.

Пусть - вводимый столбец, соответствующий переменной Базиный план - это решение системы Увеличиваем.

Умножим слева на, т.е.

Здесь - базисный план, - разложение вводимого столбца по базису.

Находим максимальное значение, при котором все значения не отрицательны. Если может быть взято как угодно велико, решение не ограничено. В противном случае один из элементов выйдет на нулевое значение. Выводим соответствующий столбец из базиса.

4. Пересчет опорного(базисного) плана.

Вычисляем новый опорный план по уже приведенной формуле с найденным значением.

5. Пересчитываем обратную к базисной.

Пусть - выводимый столбец.

Матрица B представима в виде

где - базисная матрица без выводимого столбца.

После замены столбца базисная матрица будет иметь вид

Нам нужно найти матрицу, такую что

Замечание.

При пересчете матрицы накапливаются ошибки округления. Во избежание получения больших ошибок время от времени матрица пересчитывается полностью. Этот процесс называется «повторением».

Мультипликативный вариант симплекс-метода

В мультипликативном варианте матрица не хранится, хранятся лишь множители

При решении экономических задач часто матрица ограничений разреженная, в таком случае мультипликативный вариант получает дополнительные преимущества - можно хранить мультипликаторы в сжатом виде (не хранить нули).

Другие варианты симплекс-метода

Во избежание накопления ошибок округления может использоваться LU-разложение матрицы.

При подавляющем числе ограничений типа «неравенство» может быть использован метод переменного базиса .

Метод основан на том, что базисная матрица может быть представлена в виде

Обратная к ней имеет вид

При относительно небольших размерах матрицы остальная часть матрицы может не храниться.

Таким подходом удается решить задачи с десятками миллионов строк ограничений (например, из теории игр).

Двойственный симплекс-метод

Для реализации двойственного метода необходимо перейти от задачи на минимум к задаче на максимум (или наоборот) путем транспонирования матрицы коэффициентов. При переходе от задачи на минимум целевая функция примет вид:

при ограничениях

Теорема двойственности . Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем экстремальные значения линейных функций этих задач равны.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Рассмотрим метод решения задачи ЦП, использующий идеи симплексного метода. Основная особенность задач ЦП заключается в конструкции целевой функции и в переменных, которые показывают отклонения от желаемого уровня достижения целей. Если учесть эти особенности, то для решения таких задач может быть применён обычный симплексный метод. Проиллюстрируем это на рассмотренном ранее примере. Алгоритм в некоторой степени упрощается из-за того, что исходное базисное решение здесь очевидно. Роль базисных переменных для начального плана здесь играют отрицательные отклонения «d », которые включены в модель с коэффициентами +1. Сложнее со строкой для коэффициентов целевой функции, т.е. с оценочной строкой. Как мы знаем, коэффициентами для отклонений в целевой функции задачи ЦП служат веса, ранжирующие цели по приоритетам. Их численные значения, как правило, не определены. Важно, чтобы коэффициент при отклонении для целевого ограничения с более высоким приоритетом был бы значимо больше коэффициента при отклонении от цели с более низким приоритетом. Поэтому для удобства расчетов оценочная строка разбивается на несколько строк (по числу приоритетов), и вычисления ведутся по каждой строке в отдельности.

Итак, пусть решается задача min Z = P 1 d 1 - + P 2 d 2 - + P 3 d 3 + + P 4 d 4 - ,

при условии, что

7x 1 + 6x 2 + d 1 - – d 1 + = 30;

2x 1 + 3x 2 + d 2 - – d 2 + = 12;

6x 1 + 5x 2 + d 3 - – d 3 + = 30;

x 2 + d 4 - – d 4 + = 7;

x 1 , x 2 , d i - , d i + ³ 0 (i = ).

Составим исходную симплексную таблицу (таблица 5.1.)

Таблица 5.1 – Исходная симплексная таблица

Как известно, элементы оценочной строки (Z j – C j) рассчитываются по правилу: «от суммы произведений элементов столбца «С в » на элементы соответствующего столбца отнимается элемент верхней строки». Например, для столбца «решение» элемент «Z j – C j » равен: Р 1 *30 + Р 2 *12 + 0* 30 + р 4 *7 – 0 = 30Р 1 + 12Р 2 + 7Р 4 и коэффициенты при соответствующих P i (i = ) выписаны в этом столбце в блоке «Z j – C j » (читать снизу вверх). Для столбца «х 1 »: Р 1 *7 + Р 2 *2 + 0 * 6 + Р 4 *0 – 0 = 7Р 1 + 2Р 2 , а это и есть коэффициенты при Р 1 и Р 2 в блоке «Z j – C j » и т.д.

Поскольку задача ЦП всегда решается на минимум, то решение будет оптимальным, если все элементы оценочной строки будут не положительны. В нашем случае две оценки (в столбцах «х 1 » и «х 2 ») положительны, следовательно, план не оптимальный. Для определения переменной, входящей в базис, на первой итерации определяем наибольшую положительную оценку. Определяется она по знаку коэффициента при Р 1 , т.к. P 1 >> P 2 >> P 3 >> P 4 . При равных коэффициентах при Р 1 , «поднимаемся» на строку выше и выбираем наибольший коэффициент там. В случае полного равенства по всем строкам – выбирается любой из них. В нашем случае разрешающим столбцом будет столбец «х 1 » (т.к. 7 > 6). Разрешающая строка выбирается так же как и в симплексном методе – по наименьшему симплексному отношению q (элементы столбца «решение» делим на положительные элементы разрешающего столбца). В таблице 5.1 наименьшее отношение q находится в первой строке. Итак, на следующей итерации в базис вводится переменная «х 1 », выводится «d 1 - ». Пересчитываем таблицу как в обычном симплекс-методе (таблица 5.2.)

Таблица 5.2 – Вторая симплексная таблица

Как видим, на второй итерации из базиса выводится d 2 - , в базис вводится х 2 . И т.д., пока не получим оптимальное решение. После 4-й итерации получим таблицу 5.3.

Таблица 5.3 – Итоговая симплексная таблица

Тот факт, что в строке при P 4 имеется положительный элемент (в столбце d 3 +) означает, что четвёртая цель выполнена не полностью. При этом, целевая функция равна Р 4 , это минимально возможное её значение. В целом оценка переменной d 3 + равна (0,2 Р 4 – Р 3), и поскольку Р 3 >> Р 4 , то в итоге она отрицательна. Все остальные оценки неположительны, следовательно, план с точки зрения симплексного метода оптимален.

Решение этой задачи можно прокомментировать следующим образом. Для выполнения поставленной задачи необходимо выпустить вторую продукцию в объёме 6 ед. (х 2 = 6). Первую продукцию не выпускать. При этом первая и вторая цели перевыполнены на 6 ед. (d 1 + = d 2 + = 6), а четвёртая недовыполнена на 1ед. (d 4 - =1). Таким образом, прибыли получили на 6 ед. больше желаемого уровня, первый ресурс использован сверх нормального лимита на 6 ед., а продукцию 2-го вида выпустить в желаемом объёме не получилось – вместо 7 ед. выпустили 6 (не хватило 2-го ресурса; его «экономия» – цель более высокого приоритета).

В заключение в качестве примера составления модели задачи ЦП составим модель ещё одной задачи.

Пример 5.2 . Администрация города планирует расширить спортивную базу. На эти цели в городском бюджете выделено 5,4 млн руб. Было запланировано дополнительно построить четыре типа спортивных сооружений: теннисные корты, плавательные бассейны, микростадионы (атлетические площадки) и гимнастические залы. Данные относительно этих проектов следующие (таблица 5.4).

Таблица 5.4 – Информация о строящихся объектах

Решение. В городе для этих целей выделено 20 га свободных площадей, но при необходимости эта площадь может быть увеличена. При реализации этого проекта администрация ставит следующие цели в порядке их важности:

1) уложиться в отведённую бюджетом сумму;

2) построенные спортивные сооружения должны обеспечить не менее 14 000 посещений в неделю;

3) по возможности удовлетворить ожидаемый спрос на спортивные сооружения. При формировании целевой функции для этих целевых ограничений использовать веса, пропорциональные ожидаемому использованию;

4) при осуществлении проекта по возможности не занимать более отведённого свободного пространства в 20 га.

При составлении модели этой задачи будем иметь в виду, что ограничения при формулировке целей не категоричные и могут быть как пере-, так и недовыполнены.

Переменные задачи: х 1 , х 2 , х 3 , х 4 – соответственно количество построенных сооружений: теннисных кортов, плавательных бассейнов, атлетических площадок и гимнастических залов.

Все ограничения будут целевыми, системных ограничений нет.

Первая цель – уложиться в отведённую сумму:

120х 1 + 600х 2 + 480х 3 + 1 200х 4 + d 1 - – d 1 + = 5 400 .

Минимизируем «перерасход»: min Z = P 1 d 1 + .

Вторая цель – не менее 14 000 посещений в неделю:

500 x 1 + 1 000x 2 + 2 000x 3 + 1 500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14 000

Минимизируем «недопосещения». С учётом первой цели имеем:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - .

Реализация третьей цели потребует выполнения 4 ограничений по каждому виду сооружений:

x 1 + d 3 - – d 3 + = 8;

x 2 + d 4 - – d 4 + = 3;

x 3 + d 5 - – d 5 + = 3;

x 4 + d 6 - – d 6 + = 2.

Минимизируем «недовыполнение». Это третья по важности цель, поэтому в целевой функции все 4 слагаемых будут иметь коэффициент Р 3 , но с разными весами:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - .

Четвёртая цель: 0,8x 1 + 5x 2 + 3,2x 3 + 1,6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.

Целевая функция с учётом всех целей:

min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 + .

Итак, модель задачи примет вид:

Найти min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 +

при условии, что

120x 1 + 600x 2 + 480x 3 + 1200x 4 + d 1 - – d 1 + = 5 400,

500x 1 + 1 000x 2 + 2 000x 3 + 1 500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14 000,

x 1 + d 3 - – d 3 + = 8,

x 2 + d 4 - – d 4 + = 3,

x 3 + d 5 - – d 5 + = 3,

x 4 + d 6 - – d 6 + = 2,

0,8x 1 + 2x 2 + 3,2x 3 + 1,6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.

x j ³ 0 (j = ) ; d i - , d i + ³ 0 (i = ).

Если эту задачу решать обычным симплексным методом, то весам P i надо придавать конкретные значения, но учитывать, что P 1 >> P 2 >>…>> P 7 . Разработаны специальные программы для решения таких задач. Реализуя одну из них (программа QM for Window), получим следующее оптимальное решение (таблица 5.5):

Таблица 5.5 – Решение задачи из примера 5.2.

(Целевое программирование)

x 1 = 8, x 2 = 3, x 3 = 3, x 4 = 1, d 2 + = 500, d 6 - = 1, d 7 + = 3,6. (d 7 + = –653 994 – это закодированное число 3,6 – оно указано в строке Priority 4). Указанное недовыполнение (Nonachievement) в строке Priority 3, равное 1,5 – это с учётом весового коэффициента в целевой функции при ).

Итак, на выделенные средства можно построить 8 теннисных кортов, 3 плавательных бассейна, 3 министадиона и один гимнастический зал. Как видим, четвёртая цель недовыполнена на 1 (d = 1), т.е. вместо двух запланированных будет построен один гимнастический зал. Вторая цель перевыполнена (d 2 + = 500), т.е. вместо 14 000 посещений возможны 14 500. Перевыполнена так же 4-я цель (d 7 + = 3,6), т.е. вместо отведённых 20 га под эти спортивные сооружения потребуется 23,6 га.

Глава 6. Методы сетевого планирования и управления

Методы сетевого планирования позволяют осуществить анализ комплекса работ, который включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Можно определить вероятную продолжительность выполнения всех работ, их стоимость, возможные размеры экономии времени или денежных средств, а также то, выполнение каких операций нельзя отсрочить, не задержав при этом срок выполнения проекта в целом. Немаловажным является и проблема обеспечения ресурсами. Методы сетевого анализа могут быть использованы при составлении календарного плана выполнения операций, удовлетворяющего существующим ограничениям на обеспечение ресурсами.

Анализ любого проекта осуществляется в три этапа:

1. Расчленение проекта на ряд отдельных работ (или операций), из которых затем составляется логическая схема.

2. Оценка продолжительности выполнения каждой операции; составление календарного плана выполнения проекта и выделение работ, которые определяют завершение выполнения проекта в целом.

3. Оценка потребностей каждой операции в ресурсах; пересмотр плана выполнения операций с учётом обеспечения ресурсами либо
перераспределение денежных или других ресурсов, которое улучшит план.

После того как составлен список, логическая последовательность выполнения операций может быть проиллюстрировала с помощью графа. Существуют различные типы графов, но наиболее широкое применение получили, так называемые вершинные и стрелочные графы.