Выше упоминались теоремы Шеннона о кодировании сообщений. Интуитивно понятно, что кодирование это операция преобразования информации в форму, требуемую для последующей обработки (передачи по каналу связи, хранения в памяти вычислительной системы, использования для принятия решения и т.д.). Также понятно, что при построении любой информационной системы обойтись без кодирования невозможно: любое представление информации подразумевает использование каких-нибудь кодов. Поэтому далее подробно разберем теоретические основы кодирования информации.
Пусть A произвольный алфавит. Элементы алфавита A называют буквами (или символами), а конечные последовательности, составленные из букв, словами в A . При этом считается, что в любом алфавите существует пустое слово, не содержащее букв.
Слово α 1 называют началом (префиксом) слова α , если существует слово α 2 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 1 называют собственным началом слова α , если α 2 не пустое слово. Длина слова это число букв в слове (пустое слово имеет длину 0). Запись α 1 α 2 обозначает соединение (конкатенацию) слов α 1 и α 2 . Слово α 2 называют окончанием (суффиксом) слова α , если существует слово α 1 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 2 называют собственным окончанием слова α , если α 1 не пустое слово. Пустое слово по определению считается началом и окончанием любого слова α .
Рассмотрим алфавит B = {0, 1, …, D 1}, где D ≥ 2, и произвольное множество C . Произвольное отображение множества C в множество слов в алфавите B называют D -ичным кодированием множества C (при D = 2 кодирование будет двоичным). Обратное отображение называют декодированием. Приведем примеры кодирований.
1. Кодирование множества натуральных чисел, при котором числу n = 0 ставится в соответствие слово e (0) = 0, а числу n ≥ 1 двоичное слово
e (n ) = b 1 b 2 … b l (n )
наименьшей длины, удовлетворяющее условию
Очевидно, что b 1 = 1, 2 l (n ) 1 ≤ n < 2 l (n ) и, следовательно
l (n ) = + 1 = ]log(n + 1)[,
где [ x ] и ] x [ обозначает соответственно наибольшее целое число, не превосходящее x , и наименьшее целое число, превосходящее x . Слово e (n ) называют двоичной записью числа n , а данное кодирование представление чисел в двоичной системе счисления. Данное кодирование является взаимно однозначным, поскольку при n 1 ≠ n 2 слова e (n 1 ) и e (n 2 ) различны. В таблице 5.1 приведено представление первых 16 натуральных чисел в двоичной системе счисления.
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Таблица 5.1
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> Кодирование " xml:lang="en-US" lang="en-US">e " xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">)
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">4 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">100 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">8 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1000 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">12 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1100 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">5 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">101 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">9 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1001 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">13 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1101 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">2 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">10 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">6 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">110 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">10 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1010 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">14 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1110 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">3 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">11 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">7 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">111 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">11 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1011 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">15 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1111 |
2. Кодирование первых 2 k натуральных чисел, при котором каждому числу n (0 ≤ n < 2 k ) ставится в соответствие слово
e k (n ) = 0 k l (n ) e (n ),
где запись 0 k l (n ) обозначает слово, состоящее из k l (n ) нулей, e (n ) представление числа n в двоичной системе счисления, рассмотренное выше. Данное кодирование для первых 16 натуральных чисел (k = 4) приведено в таблице 5.2.
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Таблица 5. " xml:lang="en-US" lang="en-US">2
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> Кодирование " xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">k " xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">)
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">k " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">k " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">k " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">k " xml:lang="en-US" lang="en-US">(" xml:lang="en-US" lang="en-US">n " xml:lang="en-US" lang="en-US">) |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0000 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">4 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0100 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">8 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1000 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">12 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1100 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0001 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">5 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0101 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">9 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1001 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">13 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1101 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">2 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0010 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">6 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0110 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">10 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1010 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">14 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1110 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">3 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0011 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">7 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0111 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">11 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1011 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">15 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">1111 |
Пусть A = { a i , i = 1, 2, …} конечный или счетный алфавит, буквы которого занумерованы натуральными числами. В этом случае кодирование букв алфавита A можно задать последовательностью D -ичных слов V = { v i , i = 1, 2, …}, где v i есть образ буквы a i . Такие последовательности слов (из множества V ) называют кодами (алфавита А ). Если задан код V алфавита А , то кодирование слов, при котором каждому слову a i 1 a i 2 … a ik ставится в соответствие слово v i 1 v i 2 … v ik , называют побуквенным кодированием.
При переходе от взаимно однозначного кодирования букв алфавита к побуквенному кодированию слов в алфавите свойство взаимной однозначности может не сохраниться. Например, кодирование e (n ) не сохраняет данное свойство, а кодирование e k (n ) его сохраняет. Свойство взаимной однозначности сохраняют разделимые коды. Код V = { v i , i = 1, 2, …} называют разделимым, если из каждого равенства вида
v i 1 v i 2 … v ik = v j 1 v j 2 … v jl
следует, что l = k и v i 1 = v j 1 , v i 2 = v j 2 , … , v ik = v jl . Разделимые коды называют также однозначно декодируемыми кодами.
К классу разделимых кодов принадлежат префиксные коды. Код V = { v i , i = 1, 2, …} называют префиксным, если никакое слово v k не является началом (префиксом) никакого слова v l , l ≠ k . Если каждое слово префиксного кода заменить наименьшим его началом, которое не является началом других кодовых слов, то полученный код также будет префиксным. Такую операцию называют усечением префиксного кода.
Для произвольного кода V , состоящего из различных слов, можно построить кодовое дерево. Это ориентированный граф, не содержащий циклов, в котором вершина β 1 соединена с вершиной β 2 ребром, направленным от β 1 к β 2 , тогда и только тогда, когда β 2 = β 1 b , где b B = {0, 1, …, D 1}, D ≥ 2. Для префиксных кодов (и только для них) множество кодовых слов совпадает с множеством концевых вершин (вершин, из которых не исходят ребра) кодового дерева.
5.2. Основные теоремы кодирования
Свойства кодов, полезные для их практического применения, определяются основными теоремами кодирования.
Теорема 5.1. Неравенство Крафта. Для существования однозначно декодируемого (разделимого) кода, содержащего N кодовых слов в множестве {0, 1, D 1} с длинами n 1 , n 2 , …, n N , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Доказательство. Представим, что имеется кодовое дерево для префиксного кода. Корень кодового дерева образует уровень 0, вершины, связанные с корнем, уровень 1 и т.д. Возможное количество вершин на k -м уровне обозначим как D k . Каждая вершина k -го уровня порождает точно D n k вершин n -го уровня.
n 1 ≤ n 2 ≤…≤ n N = n .
Очевидно, что кодовое слово длины k запрещает в точности D n k возможных концевых вершин (вершин последнего уровня). Тогда все кодовые слова префиксного кода запрещают концевых вершин. Так как общее число концевых вершин равно D n , то справедливо неравенство
из которого следует, что
Таким образом, неравенство Крафта доказано.
В результате доказательства теоремы 5.1 делается вывод о том, что существуют хотя бы префиксные коды, которые являются однозначно декодируемыми кодами, с длинами кодовых слов n 1 , n 2 , …, n N , удовлетворяющими неравенству Крафта. Следующая теорема, называемая утверждением Мак-Миллана, обобщает данный вывод на все однозначно декодируемые коды.
Теорема 5.2. Неравенство Мак-Миллана. Каждый однозначно декодируемый код удовлетворяет неравенству Крафта.
Доказательство. Возведем сумму в степень L :
. (5.1)
Пусть A k число комбинаций, содержащих L кодовых слов с суммарной длиной k . Тогда выражение (6.1) можно представить в виде
где L max максимальная длина сообщения, содержащего L кодовых слов. Если код является однозначно декодируемым, то все последовательности из L кодовых слов суммарной длины k различны. Так как имеется всего D k возможных последовательностей, то A k ≤ D k и тогда
Так как L это число независимых кодовых слов, которые используются для построения всех возможных последовательностей длины, не превышающей L max . Поэтому L ≤ L max и. А из этого следует, что
Поскольку приведенные рассуждения справедливы для каждого однозначно декодируемого кода, а не только для префиксных кодов, то утверждение Мак-Миллана доказано.
Следующие теоремы связывают энтропию источника сообщений и среднюю длину кодового слова.
Теорема 5.3. Теорема кодирования источников I . Для любого дискретного источника без памяти X с конечным алфавитом и энтропией H (X ) существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова удовлетворяет неравенству
. (5.2)
Доказательство. Прежде всего, поясним, что дискретный источник без памяти, описывается моделью, в которой не учитываются связи между символами сообщения. Теперь докажем левую часть неравенства (6.2):
Для этого используем определение энтропии и неравенство Крафта:
Для доказательства правой части неравенства (6.2) перепишем неравенство Крафта в следующем виде:
Затем выберем для каждого слагаемого такое наименьшее целое n i , при котором
Так как неравенство Крафта при таком выборе сохраняется, то можно построить соответствующий префиксный код. Так как n i наименьшее целое, то для n i 1 справедливо
Тогда
Таким образом, теорема кодирования источников I доказана. Она определяет, что средняя длина кодового слова не может быть меньше энтропии источника сообщений. Отметим, что при доказательстве теоремы использовались те же обозначения, что и при рассмотрении неравенства Крафта.
Теорема 5.4. Теорема кодирования источников II . Для блока длины L существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова на один символ удовлетворяет неравенству
где.
Доказательство. Здесь в качестве единиц сообщений рассматриваются блоки символов и H (X 1 , X 2 , …, X L ) это энтропия источника сообщений, приходящаяся на блок из L символов. Для доказательства теоремы можно воспользоваться теоремой о кодировании источников I :
Теорема о кодировании источников II позволяет утверждать, что существуют такие способы кодирования для достаточно длинного сообщения, что средняя длина кодового слова может быть сделана сколь угодно близкой к величине. Действительно, при L ∞, H L (X ) H , где H энтропия источника сообщений на один символ, справедливо неравенство
, (5.3)
где. Это можно интерпретировать также следующим образом: для любого сколь угодно малого числа ε , существует метод кодирования блоков, содержащих символов, при котором для средней длины кодового слова на символ выполняется неравенство (5.3).
Кроме того, так как минимально достижимой длиной кодового слова на символ является величина, то при D = 2 избыточность кода можно определить по формуле.
Задача построения оптимального кода заключается в отыскании целых положительных чисел n 1 , n 2 , …, n N , минимизирующих среднюю длину кодового слова при условии выполнения неравенства Крафта:
При построении кодов в случае алфавита A = { a i , i = 1, 2, …, N } с известным распределением вероятностей P = { p i , i = 1, 2, …, N } без ограничения общности можно считать, что буквы алфавита A занумерованы в порядке убывания их вероятностей, т.е. p 1 ≥ p 2 ≥ … ≥ p N . Кроме того, будем рассматривать только двоичные коды.
Известны два метода (Фано и Шеннона) построения кодов, близких к оптимальным. Метод Фано заключается в следующем. Упорядоченный в порядке убывания вероятностей список букв делится на две последовательные части так, чтобы суммы вероятностей входящих в них букв как можно меньше отличались друг от друга. Буквам из первой части приписывается символ 0, а буквам из второй части символ 1. Далее точно также поступают с каждой из полученных частей, если она содержит, по крайней мере, две буквы. Процесс продолжается до тех пор, пока весь список не разобьется на части, содержащие по одной букве. Каждой букве ставится в соответствие последовательность символов, приписанных в результате этого процесса данной букве. Легко видеть, что полученный код является префиксным.
Метод Шеннона применим лишь в том случае, когда все вероятности положительны. Он состоит в том, что букве a i , имеющей вероятность p i > 0, ставится в соответствие последовательность из n i = ] log (1/ p i )[ первых после дробной точки цифр разложения числа в бесконечную дробь (для a 1 полагаем, что q 1 = 0). Поскольку при l > k (в силу того, что p l ≤ p k ) n l ≥ n k и, то полученный таким образом код является префиксным. На основе полученного префиксного кода строится усеченный префиксный код, который и является результатом кодирования по методу Шеннона.
Пусть, например, имеется множество букв A = { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 } с распределением вероятностей P = {0.2, 0.2, 0.19, 0.12, 0.11, 0.09, 0.09}. Выполним кодирование букв по методу Фано.
1. Разобьем список на две части, так чтобы суммы вероятностей, входящих в них букв как можно меньше отличались друг от друга:
A 1 = { a 1 , a 2 , a 3 }, P 1 = {0.2, 0.2, 0.19};
A 2 = { a 4 , a 5 , a 6 , a 7 }, P 2 = {0.12, 0.11, 0.09, 0.09}.
2. Припишем буквам из первой части символ 0, а буквам второй части символ 1:
A 1 = { a 1 /0, a 2 /0, a 3 /0} ;
A 2 = { a 4 /1, a 5 /1, a 6 /1, a 7 /1}.
3. Повторим последовательно указанные действия для каждой из частей по отдельности. В результате получим :
A 1 1 = { a 1 /00};
A 121 = { a 2 /010};
A 122 = { a 3 /011};
A 211 = { a 4 /100};
A 212 = { a 5 /101};
A 221 = { a 6 /110};
A 222 = { a 7 /111}.
Кодовые слова, полученные в результате кодирования, приведены для каждой буквы справа от наклонной черты. При этом порядок индексов полученных однобуквенных списков показывает последовательность разбиения исходного списка групп на части.
Процесс кодирования по методу Фано удобно оформлять в виде таблицы. Для рассматриваемого примера он приведен в таблице 5.3.
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Таблица 5.3
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> Кодирование по методу Фано
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.20 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> 0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> 00 |
|
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">2 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.20 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">010 |
|
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">3 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.19 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">011 |
||
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">4 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.12 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">100 |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">5 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.11 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">101 |
||
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">6 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.09 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">110 |
|
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">7 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">0.09 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">111 |
Определим среднюю длину кодового слова:
Теперь выполним кодирование по методу Шеннона. Процесс кодирование приведено в таблице 5.4.
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Таблица 5.4
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU"> Кодирование по методу Шеннона
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">i |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">i |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">q ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">i |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Код " xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">i |
" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">Усеченный код " xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">i |
|
" xml:lang="en-US" lang="en-US">a ;vertical-align:sub" xml:lang="ru-RU" lang="ru-RU">1 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">]2.321…[ = 3 |
" xml:lang="en-US" lang="en-US">0 |
000 |
000 |
|
a 2 |
]2.321…[ = 3 |
0.2 |
001 |
001 |
|
a 3 |
]2.395…[ = 3 |
0.4 |
011 |
01 |
|
a 4 |
]3.058…[ = 4 |
0.59 |
1001 |
100 |
|
a 5 |
]3.183…[ = 4 |
0.71 |
1011 |
101 |
|
a 6 |
]3.472…[ = 4 |
0.82 |
1101 |
110 |
|
a 7 |
]3.472…[ = 4 |
0.91 |
1110 |
111 |
Как и предыдущего случая найдем среднюю длину кодового слова:
.
Как можно видеть результаты кодирования по методам Фано и Шеннона с точки зрения минимизации средней длины кода практически совпали. Поэтому часто эти методы рассматривают как один (в формулировке Фано) и называют методом Шеннона-Фано.
В 1952 г. Давид Хаффмен предложил метод оптимального префиксного кодирования для дискретных источников, который в отличие от методов Шеннона и Фано до сих пор применяется на практике. Д.Хаффмен доказал, что средняя длина кодового слова, полученная с помощью его метода, будет минимальна. Кодирование Хаффмена производится за три шага.
1. Упорядочение: буквы располагаются в порядке убывания их вероятностей.
2. Редукция: две буквы с наименьшими вероятностями объединяются в одну с суммарной вероятностью; список букв переупорядочивается в соответствии с шагом 1; процесс продолжается до тех пор, пока все буквы не будут объединены в одну. При этом можно добиться выравнивания длин кодовых слов с помощью следующей стратегии: если несколько букв имеют одинаковые вероятности, то объединяют те две из них, которые до этого имели наименьшее число объединений (правда на среднюю длину кода это не повлияет).
3. Кодирование: начиная с последнего объединения, последовательно приписываются одной компоненте составной буквы символ 0, а второй символ 1; процесс продолжается до тех пор, пока все исходные буквы не будут закодированы.
Выполним кодирование по методу Хаффмена для множества, рассматривавшегося в примерах применения методов Фано и Шеннона.
1. Исходный список букв A = { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 } уже упорядочен, так как P = {0.2, 0.2, 0.19, 0.12, 0.11, 0.09, 0.09}.
2. Объединим буквы a 6 и a 7 в одну букву a 1 с вероятностью 0.18 и переупорядочим список :
P 1 = {0.2, 0.2, 0.19, 0.18, 0.12, 0.11}, A 1 = { a 1 , a 2 , a 3 , a 1 , a 4 , a 5 }.
3. Повторим шаг 2 до тех пор, пока не останется одна буква в списке:
P 2 = {0.23, 0.2, 0.2, 0.19, 0.18}, A 2 = { a 2 , a 1 , a 2 , a 3 , a 1 };
P 3 = {0.37, 0.23, 0.2, 0.2}, A 3 = { a 3 , a 2 , a 1 , a 2 };
P 4 = {0.4, 0.37, 0.23}, A 4 = { a 4 , a 3 , a 2 };
P 5 = {0.6, 0.4}, A 5 = { a 5 , a 4 };
P 6 = {1}, A 6 = { a 6 }.
4. Присвоим двоичные коды символам :
a 6 : a 5 = 0, a 4 = 1;
a 5 : a 3 = 00, a 2 = 01;
a 4 : a 1 = 10, a 2 = 11;
a 3 : a 3 = 000, a 1 = 001;
a 2 : a 4 = 010, a 5 = 011;
a 1 : a 6 = 0010, a 7 = 0011.
Таким образом, исходным буквам присвоены следующие двоичные коды: a 1 = 10, a 2 = 11, a 3 = 000, a 4 = 010, a 5 = 011, a 6 = 0010, a 7 = 0011, что дает среднюю длину кода, меньшую, чем в случае кодирования Фано и Шеннона.
Определим избыточность полученных кодов. Для этого найдем энтропию источника сообщений:
.
Тогда коды имеют следующую избыточность:
код Фано: ;
код Шеннона: ;
код Хаффмена: .
Таким образом, избыточность кода Хаффмена минимальна.
Для снижения избыточности, т.е. снижения средней длины кодового слова на один символ, можно воспользоваться блочным кодированием, обоснование которого дано в теореме кодирования источников II . В этом случае необходимо получить всевозможные группы букв заданной длины, найти вероятности групп, как вероятности совместного появления букв группы одновременно, и выполнить кодирование, рассматривая группы как символы нового алфавита.
PAGE 43
Для эффективного использования канала (повышения коэффициента нагрузки λ→1) необходимо его согласование с источником информации на входе. Такое согласование возможно как для каналов без помех, так и с помехами, на основании теорем кодирования для канала, предложенных Шенноном.
Теорема о кодировании для канала без помех.
Если источник сообщений имеет производительность [бит/сек], а канал связи – пропускную способность [бит/сек], то можно закодировать сообщение таким образом, чтобы передавать информацию по каналу связи со средней скоростью, сколь угодно близкой к величине , но не превзойти её.
Шеннон предположил и метод такого кодирования, который получил название оптимального кодирования. В дальнейшем идея такого кодирования была развита в работах Фано и Хаффмана. В настоящее время такие коды широко используются на практике (эффективное и оптимальное кодирование).
Прямая теорема Шеннона о кодировании для канала с помехами.
При любой производительности источника сообщения [бит/сек] меньшей, чем пропускная способность [бит/сек], существует такой способ кодирования, который позволяет обеспечить передачу всей информации, создаваемой источником сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибки ε.
Обратная теорема кодирования для канала с помехами.
Не существует способа кодирования, позволяющего вести передачу информацию со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если производительность источника сообщений больше пропускной способности канала.
Доказательство теоремы кодирования для канала с помехами довольно объемно математически, поэтому ограничимся общим обсуждением физических аспектов её практического применения:
1. Теорема устанавливает теоретический предел возможной эффективности системы при достоверной передаче информации. Из теоремы следует, что помехи в канале не накладывают ограничений на точность передачи. Ограничения накладываются только на скорость передачи, при которой может быть достигнута сколь угодно высокая достоверность передачи.
При этом достоверность дискретного канала обычно оценивается значением вероятности ошибочного приема одного символа. Чем меньше вероятность ошибки, тем выше достоверность канала. Достоверность в свою очередь характеризует помехоустойчивость информационной системы.
Скорость передачи информации характеризует эффективность системы.
2. Теорема не затрагивает вопрос о путях построения кодов, обеспечивающих указанную идеальную передачу. Обосновав принципиальную возможность такого кодирования, она мобилизовала усилия ученых на разработку конкретных кодов.
3. При любой конечной скорости передачи информации, вплоть до пропускной способности, сколь угодно малая вероятность ошибки достигается лишь при безграничном увеличении длительностей кодируемых последовательностей знаков. Таким образом, безошибочная передача при наличии помех возможна лишь теоретически. Обеспечение передачи информации с весьма малой вероятностью ошибки и с достаточно высокой эффективностью возможна при кодировании чрезвычайно длинных последовательностей знаков.
Прямая теорема Шеннона для источника общего вида Не следует путать с другими теоремами Шеннона .
Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности кодирования без потерь.
В применении к побуквенному кодированию прямая теорема может быть сформулирована следующим образом:
В качестве доказательства теоремы исследуются характеристики кода Шеннона-Фано . Данный код удовлетворяет условиям теоремы, и он обладает указанными свойствами.
Обратная теорема ограничивает максимальную степень сжатия, достигаемую с помощью кодирования без потерь. В применении к побуквенному кодированию, описывает ограничение на среднюю длину кодового слова для любого разделимого кода.
Для любого разделимого кода с длинами w 1 ,w 2 ,...,w K средняя длина сообщений больше или равна энтропии источника U , нормированный на двоичный логарифм от числа букв D в алфавите кодера:
Wikimedia Foundation . 2010 .
Не следует путать с другими теоремами Шеннона. Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности… … Википедия
В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Шеннон. Клод Элвуд Шеннон Claude Elwood Shannon … Википедия
Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия
Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия
- (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории информации, в… … Википедия
Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия
Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия
Клод Элвуд Шеннон (англ. Claude Elwood Shannon; родился 30 апреля 1916, Петоцки (Petoskey, Michigan) Мичиган, США, умер 24 февраля 2001, Медфорд, Массачусетс, США) американский математик и электротехник, один из создателей математической теории… … Википедия
Кодирование информации
Основные понятия
Выше упоминались теоремы Шеннона о кодировании сообщений. Интуитивно понятно, что кодирование – это операция преобразования информации в форму, требуемую для последующей обработки (передачи по каналу связи, хранения в памяти вычислительной системы, использования для принятия решения и т.д.). Также понятно, что при построении любой информационной системы обойтись без кодирования невозможно: любое представление информации подразумевает использование каких-нибудь кодов. Поэтому далее подробно разберем теоретические основы кодирования информации.
Пусть A – произвольный алфавит. Элементы алфавита A называют буквами (или символами), а конечные последовательности, составленные из букв, – словами в A . При этом считается, что в любом алфавите существует пустое слово, не содержащее букв.
Слово α 1 называют началом (префиксом) слова α , если существует слово α 2 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 1 называют собственным началом слова α , если α 2 – не пустое слово. Длина слова – это число букв в слове (пустое слово имеет длину 0). Запись α 1 α 2 обозначает соединение (конкатенацию) слов α 1 и α 2 . Слово α 2 называют окончанием (суффиксом) слова α , если существует слово α 1 , такое, что α = α 1 α 2 ; при этом слово α 2 называют собственным окончанием слова α , если α 1 – не пустое слово. Пустое слово по определению считается началом и окончанием любого слова α .
Рассмотрим алфавит B = {0, 1, …, D – 1}, где D ≥ 2, и произвольное множество C . Произвольное отображение множества C в множество слов в алфавите B называют D -ичным кодированием множества C (при D = 2 кодирование будет двоичным). Обратное отображение называют декодированием. Приведем примеры кодирований.
1. Кодирование множества натуральных чисел, при котором числу n = 0 ставится в соответствие слово e (0) = 0, а числу n ≥ 1 двоичное слово
e (n ) = b 1 b 2 … b l ( n )
наименьшей длины, удовлетворяющее условию
Очевидно, что b 1 = 1, 2 l ( n ) – 1 ≤ n < 2 l ( n ) и, следовательно
l (n ) = + 1 = ]log(n + 1)[,
где [x ] и ]x [ обозначает соответственно наибольшее целое число, не превосходящее x , и наименьшее целое число, превосходящее x . Слово e (n ) называют двоичной записью числа n , а данное кодирование – представление чисел в двоичной системе счисления. Данное кодирование является взаимно однозначным, поскольку при n 1 ≠ n 2 слова e (n 1) и e (n 2) различны. В таблице 5.1 приведено представление первых 16 натуральных чисел в двоичной системе счисления.
Таблица 5.1
Кодирование e (n )
| n | e (n ) | n | e (n ) | n | e (n ) | n | e (n ) |
2. Кодирование первых 2 k натуральных чисел, при котором каждому числу n (0 ≤ n < 2 k ) ставится в соответствие слово
e k (n ) = 0 k – l ( n ) e (n ),
где запись 0 k – l ( n ) обозначает слово, состоящее из k – l (n ) нулей, e (n ) – представление числа n в двоичной системе счисления, рассмотренное выше. Данное кодирование для первых 16 натуральных чисел (k = 4) приведено в таблице 5.2.
Таблица 5.2
Кодирование e k (n )
| n | e k (n ) | n | e k (n ) | n | e k (n ) | n | e k (n ) |
Пусть A = {a i , i = 1, 2, …} – конечный или счетный алфавит, буквы которого занумерованы натуральными числами. В этом случае кодирование букв алфавита A можно задать последовательностью D -ичных слов V = {v i , i = 1, 2, …}, где v i есть образ буквы a i . Такие последовательности слов (из множества V ) называют кодами (алфавита А ). Если задан код V алфавита А , то кодирование слов, при котором каждому слову a i 1 a i 2 …a ik ставится в соответствие слово v i 1 v i 2 …v ik , называют побуквенным кодированием.
При переходе от взаимно однозначного кодирования букв алфавита к побуквенному кодированию слов в алфавите свойство взаимной однозначности может не сохраниться. Например, кодирование e (n ) не сохраняет данное свойство, а кодирование e k (n ) его сохраняет. Свойство взаимной однозначности сохраняют разделимые коды. Код V = {v i , i = 1, 2, …} называют разделимым, если из каждого равенства вида
v i 1 v i 2 …v ik = v j 1 v j 2 …v jl
следует, что l = k и v i 1 = v j 1 , v i 2 = v j 2 , … , v ik = v jl . Разделимые коды называют также однозначно декодируемыми кодами.
К классу разделимых кодов принадлежат префиксные коды. Код V = {v i , i = 1, 2, …} называют префиксным, если никакое слово v k не является началом (префиксом) никакого слова v l , l ≠ k . Если каждое слово префиксного кода заменить наименьшим его началом, которое не является началом других кодовых слов, то полученный код также будет префиксным. Такую операцию называют усечением префиксного кода.
Для произвольного кода V , состоящего из различных слов, можно построить кодовое дерево. Это ориентированный граф, не содержащий циклов, в котором вершина β 1 соединена с вершиной β 2 ребром, направленным от β 1 к β 2 , тогда и только тогда, когда β 2 = β 1 b , где b Î B = {0, 1, …, D – 1}, D ≥ 2. Для префиксных кодов (и только для них) множество кодовых слов совпадает с множеством концевых вершин (вершин, из которых не исходят ребра) кодового дерева.
Основные теоремы кодирования
Свойства кодов, полезные для их практического применения, определяются основными теоремами кодирования.
Теорема 5.1. Неравенство Крафта. Для существования однозначно декодируемого (разделимого) кода, содержащего N кодовых слов в множестве {0, 1, D – 1} с длинами n 1 , n 2 , …, n N , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Доказательство. Представим, что имеется кодовое дерево для префиксного кода. Корень кодового дерева образует уровень 0, вершины, связанные с корнем, – уровень 1 и т.д. Возможное количество вершин на k -м уровне обозначим как D k . Каждая вершина k -го уровня порождает точно D n – k вершин n -го уровня.
n 1 ≤ n 2 ≤…≤ n N = n .
Очевидно, что кодовое слово длины k запрещает в точности D n – k возможных концевых вершин (вершин последнего уровня). Тогда все кодовые слова префиксного кода запрещают концевых вершин. Так как общее число концевых вершин равно D n , то справедливо неравенство
,
из которого следует, что
Таким образом, неравенство Крафта доказано.
В результате доказательства теоремы 5.1 делается вывод о том, что существуют хотя бы префиксные коды, которые являются однозначно декодируемыми кодами, с длинами кодовых слов n 1 , n 2 , …, n N , удовлетворяющими неравенству Крафта. Следующая теорема, называемая утверждением Мак-Миллана, обобщает данный вывод на все однозначно декодируемые коды.
Теорема 5.2. Неравенство Мак-Миллана. Каждый однозначно декодируемый код удовлетворяет неравенству Крафта.
Доказательство. Возведем сумму в степень L :
. (5.1)
Пусть A k – число комбинаций, содержащих L кодовых слов с суммарной длиной k . Тогда выражение (6.1) можно представить в виде
,
где L max – максимальная длина сообщения, содержащего L кодовых слов. Если код является однозначно декодируемым, то все последовательности из L кодовых слов суммарной длины k различны. Так как имеется всего D k возможных последовательностей, то A k ≤ D k и тогда
Так как L
– это число независимых кодовых слов, которые используются для построения всех возможных последовательностей длины, не превышающей L
max . Поэтому L
≤ L
max и 
. А из этого следует, что
Поскольку приведенные рассуждения справедливы для каждого однозначно декодируемого кода, а не только для префиксных кодов, то утверждение Мак-Миллана доказано.
Следующие теоремы связывают энтропию источника сообщений и среднюю длину кодового слова.
Теорема 5.3. Теорема кодирования источников I. Для любого дискретного источника без памяти X с конечным алфавитом и энтропией H (X ) существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова удовлетворяет неравенству
. (5.2)
Доказательство. Прежде всего, поясним, что дискретный источник без памяти, описывается моделью, в которой не учитываются связи между символами сообщения. Теперь докажем левую часть неравенства (6.2):
Для этого используем определение энтропии и неравенство Крафта:
Для доказательства правой части неравенства (6.2) перепишем неравенство Крафта в следующем виде:
.
Затем выберем для каждого слагаемого такое наименьшее целое n i , при котором
Так как неравенство Крафта при таком выборе сохраняется, то можно построить соответствующий префиксный код. Так как n i – наименьшее целое, то для n i – 1 справедливо
Таким образом, теорема кодирования источников I доказана. Она определяет, что средняя длина кодового слова не может быть меньше энтропии источника сообщений. Отметим, что при доказательстве теоремы использовались те же обозначения, что и при рассмотрении неравенства Крафта.
Теорема 5.4. Теорема кодирования источников II. Для блока длины L существует D -ичный префиксный код, в котором средняя длина кодового слова на один символ удовлетворяет неравенству
,
где 
.
Доказательство. Здесь в качестве единиц сообщений рассматриваются блоки символов и H (X 1 , X 2 , …, X L) – это энтропия источника сообщений, приходящаяся на блок из L символов. Для доказательства теоремы можно воспользоваться теоремой о кодировании источников I:
Кроме того, так как минимально достижимой длиной кодового слова на символ является величина , то при D
= 2 избыточность кода можно определить по формуле 
.
Достигнутая степень близости среднего числа k двоичных знаков, приходящихся на одну букву сообщения к H может быть ещё сколь угодно увеличена при помощи перехода к кодированию всё более и более длинных блоков. Это вытекает из следующего общего утверждения, которое называется основной теоремой о кодировании.
Теорема: При кодировании сообщения,разбитого наN -буквенные блоки можно,вы-брав N достаточно большим добиться того, чтобы среднее число k элементарных дво-ичных сигналов, приходящихся на одну букву исходного сообщения было сколь угодно близко к H . Замечание: Очень длинное сообщение из M букв может быть закодировано
при помощи сколь угодно близкого к числу MH (но большего) числа элементарных сиг-налов, если только предварительно разбить это сообщение на достаточно длинные блоки из N букв и сопоставлять отдельные кодовые обозначения сразу целым блокам. Методы кодирования блоков могут быть самыми различными (например, можно использовать методы Шеннона - Фано, Хаффмана)
m-ичные коды
Содержание предыдущих параграфов легко переносится и на случай m -ичных кодов, ис-пользующих m элементарных сигналов. Так, например для построения m -ичных кодов Шеннона - Фано надо лишь разбивать группы символов не на 2, а на m частей, по воз-можности близкой суммарной вероятности, а для построения m -ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а m букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.
Ввиду важности кодов Хаффмана остановимся на этом вопросе подробнее. Сжатие ал-фавита, при котором m букв заменяются на одну приводит к уменьшению числа букв на m − 1.Так,как для построения m -ичного кода,очевидно,требуются,чтобы последова-тельность сжатий привела нас к алфавиту из m букв (сопоставляемых m сигналам кода), то необходимо, чтобы число n букв первоначального алфавита было представимо в виде n = m + s (m − 1),где s -целое число сжатий.
Этого всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту ещё несколько "фиктивных букв", вероятности появления которых считаются равными 0. По-сле этого, построение m -ичного кода Хаффмана производится точно так-же, как и в случае двоичного кода.
Пример: В случае алфавита из6букв,имеющих вероятности0: 4; 0: 2; 0: 2; 0: 1; 0: 05; 0: 05.Для построения троичного кода Хаффмана надо присоединить к нашему алфавиту ещё одну фиктивную букву с нулевой вероятностью и поступать, как указано в таблице:
| Номер буквы | Вероятности и кодовые обозначения | |||||||||||
| Исходный алфавит A | Сжатый алфавит A 1 | Сжатый алфавит A 2 | ||||||||||
| 0: 4 - 0 | 0: 4 - 0 | 0: 4 - 0 | ||||||||||
| 0: 2 - 2 | 0: 2 - 2 | 0: 4 - 1 | ||||||||||
| 0: 2 - 10 | 0: 2 - 10 | 0: 2 - 2 | ||||||||||
| 0: 1 - 11 | 0: 2 - 11 | |||||||||||
| 0: 05 - 120 | ||||||||||||
| 0: 05 - 121 | ||||||||||||
| 0 - --- | ||||||||||||
| Теорема:Любыеn чиселk 1 ; k 2 ; : : : ; k n ,удовлетворяющие неравенству | + | + : : : + | ||||||||||
| k | k | |||||||||||
| 6 1 (∗ ): | m | m | ||||||||||
| Любые из k n чисел являются длинами сообщений некоторого m -ичного | ||||||||||||
| m k n |
кода, сопоставляющего n буквам алфавита n последовательностей элементарных сигна-лов, принимающих m возможных значений.
Это утверждение (∗ ) впервые было доказано в 1949 году американским учёным Л.Крафтом и позднее было обобщено Б. Макмилланом, поэтому неравенство (∗ ) часто называют неравенством Крафта - Макмиллана. Используя неравенство (∗ ) можно полу-чить следующий результат:
Теорема: основная теорема о кодировании дляm -ичных кодов.При любом методе коди-рования, использующем m -мчнный код среднее число k элементарных сигналов, прихо-дящихся на одну букву сообщения никогда не может быть меньше отношения log H m , где H - энтропия одной букв сообщения. Однако, оно всегда может быть сделано сколь угодно близким к этой величине, если кодировать сразу достаточно длинные блоки из N букв.
Следствие: Если по линии связи за единицу времени можно передатьL элементарныхсигналов, принимающих m различных значений, то скорость передачи сообщений по
скоростью, сколь угодно близкой к v (но меньшей v ) является возможной. Величина C = L · log m зависит лишь от характеристик самой линии связи,в то время,как знаме-натель H характеризует передаваемое сообщение. Величина C указывает наибольшее количество единиц информации, которое можно передать по линии связи за единицу времени. Она называется пропускной способностью линии связи.
