Дифференциальное
И интегральное исчисление функции
Одной переменной
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева
Л. С. Гордеев
Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)
С. А. Изотова
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,
М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,
М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,
2012. – 108 с.
ISBN 978-5-7237-0993-5
Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.
Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.
Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.
УДК 517 (075)
ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2012
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3
1. Определение функции одной переменной. 3
2. Способы задания функции. 3
3. Сложная и обратная функции. 3
4. Элементарные функции. 3
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3
1. Предел функции в конечной точке x 0 3
2. Односторонние пределы.. 3
3. Предел функции на бесконечности. 3
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3
5. Основные теоремы о конечных пределах. 3
6. Первый замечательный предел. 3
7. Второй замечательный предел. 3
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3
2. Точки разрыва функции и их классификация. 3
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3
1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3
2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3
3. Таблица производных основных элементарных функций. 3
4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3
5. Правила дифференцирования. 3
6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3
7. Производные показательной и степенной функций. 3
8. Производные обратных тригонометрических функций. 3
9. Дифференциал функции. 3
10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3
§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37
1. Теорема Ролля. 3
2. Теорема Лагранжа. 3
3. Теорема Коши. 3
4. Правило Лопиталя. 3
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3
1. Асимптоты плоской кривой. 3
2. Монотонность функции. 3
3. Экстремумы функции. 3
4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3
5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3
6. Схема исследования функции. Построение графика. 3
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3
1. Первообразная функция и её свойства. 3
2. Понятие неопределённого интеграла. 3
3. Свойства неопределённого интеграла. 3
4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3
§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3
1. Непосредственное интегрирование. 3
2. Интегрирование подстановкой. 3
3. Интегрирование по частям. 3
4. Интегрирование рациональных дробей. 3
5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3
§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3
1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3
2. Свойства определённого интеграла. 3
3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3
4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3
5. Приложения определённого интеграла. 3
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3
1. Интегралы с бесконечными пределами. 3
2. Интегралы от разрывных функций. 3
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y . Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x ) с областью определения X = D (f ) и областью изменения Y = E (f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией .
Частным значением функции y = f (x ) при фиксированном значении аргумента x = x 0 называют y 0 = f (x 0 ).
Графиком функции y = f (x ) называют геометрическое место точек M (x;f (x )) на плоскости Oxy , где x Î D (f ) и f (x ) Î E (f ).
Способы задания функции
1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а) Функция задана явно формулой y = f (x ).
Например: , где D (y ) = (– ∞;1) (1;+∞).
б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F (x ;y ) = 0.
Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:
и ,
которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .
в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:
Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:
2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции , когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.
Сложная и обратная функции
Определение 1 . Пусть функция y = f (U ) определена на множестве D (f ), а функция U = g (x ) определена на D (g ), причём E (g ) D (f ).
Тогда функция y = F (x ) = f (g (x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).
Определение 2 . Пусть задана функция y = f (x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f ) на множество Y = E (f ).
Тогда функция x = g (y ) называется обратной к функции y = f (x ), т. е. любому y E (f ) соответствует единственное значение x D (f ), при котором верно равенство y = f (x ).
Замечание. Графики функций y = f (x ) и x = g (y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f (x ) и y = g (x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Элементарные функции
Основные элементарные функции:
y = const (постоянная функция ), D (y ) = R; E (y ) = c .
(линейная функция ), D (y ) = R; E (y ) = R .
y = (степенная функция ), α ÎR , E (y ), D (y ) зависят от α.
y = (показательная функция ), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = R , E (y ) = (0;+∞).
y = (логарифмическая функция )), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = (0;+∞), E (y ) = R .
Тригонометрические функции :
y = sin x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = cos x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = tg x , D (y ) = , E (y ) = R .
y = ctg x , D (y ) = , E (y ) = R .
Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x , D (y ) = , E (y ) = .
y = arccos x , D (y ) = , E (y ) = .
y = arctg x , D (y ) = R , E (y ) = .
y = arcctg x , D (y ) = R , E (y ) = .
Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.
Например: – элементарная функция.
Графики обратных тригонометрических функций:
Определение 1. Окрестностью точки x 0 называется любой интервал, содержащий точкуx 0:. и справедливо равенство:
Замечание 2. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f (x ) имеет предел, равный числу:
Замечание 3. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x 0 функция f (x ) не имеет предела.
Тема 4 . Функция одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.
План лекции:
Понятие функции.
Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
Обратная функция.
Сложная функция.
Понятие функции.
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества Х
и Y
. Соответствие f
, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией
и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х
на множество Y
.
X
X
Y
Y
X
Y
Y
. .
X
Например, соответствия
f
и
g
, изображённые на рисунке, являются функциями, а
и
u
‒ нет. В случае
‒ не каждому соответствует элемент
. В случае
и
‒ не соблюдается условие однозначности.
Элемент
, который соответствует данному , называют образом
элемента х.
Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом
элемента у
.
Множество Х
называется областью определения
функции f
и обозначается D
(f
). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х
, называется множеством значений
функции f
и обозначается Е
(f
).
Числовые функции. График функции. Способы задания.
Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х
и Y
являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией
. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.
Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .
Частное значение
функции
при х=а
записывают
. Например, если
, то
,
Г
М (х ;у )
у
х
1
О
рафиком функцииНапример, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R
=1 с центром О
(0;0).
Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.
Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.
Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.
Основные характеристики функций.
Функция
, определённая на множестве D
, называется чётной
, если
выполняются условия
и
; нечётной
, если
выполняются условия
и
.
График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.
Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.
Пусть функция
определёна на множестве D
и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:
а)
, то функция называется возрастающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);
б)
, то функция называется неубывающей
на множестве ;
в)
, то функция называется убывающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
г)
, то функция называется невозрастающей
на множестве .
‒2 О 1 3 4 х
у
Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .
Ф
у=М
у
х
у= ‒М
Ункцию, определённую на множестве D
называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.
:
.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .
Функция
, определённая на множестве D
, называется периодической
на этом множестве, если существует такое число T
>0
, что при каждом
значение
и
. При этом число Т
называется периодом функции
. Если Т
‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ
, где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т
, удовлетворяющее равенству
.
Обратная функция.
Пусть задана функция
с областью определения D
и множеством значений Е
. Если для каждого
существует единственный прообраз в D
, то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е
и множеством значений D
. Такая функция
называется обратной
к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными.
. Заметим, что для функции
промежуточным аргументом
сложной функции.
Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2) положительное направление, указываемое стрелкой;
3) масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .
Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.
Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).
Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.
Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.
Функции задаются:
1) аналитически (в виде формулы), например, ;
2) графически (в виде графика);
3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:
1. Степенная функция : , где? - действительное число.
2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.
3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.
4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,
y = sec x, y = cosec x.
5. Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,
y = arccosec x .
Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y = Рx Р = ; ; .
Пример 1 . Найти, если.
Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :
Тогда получим
Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
Решение . а) Так как, то
т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.
б) Имеем, т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь,т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Пример 3
Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:
Пример 4 . Найти область определения функции.
Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).
Пример 5. Найти область определения функции
Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем
Следовательно, областью определения будет сегмент
Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
T, 0 С | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 17 |
Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.