Термином комплексного числа (далее в тексте - КЧ) пользуются для обозначения выражений виды: ċ=а+jb , в которых индекс "ċ" используется для обозначения КЧ, а "а" и "b" отображают действительную и мнимую части. Значение "j" обозначает мнимую единицу и равно √(-1) .
В английском языке словом Real принято характеризовать действительность, а термином Imaginary - мнимые свойства. От этих слов были созданы обозначения Re и Im , которые используются для выражения величин "а" и "b" следующим способом:
а=Re(с), b=Im(с).
Для геометрического отображения КЧ в векторной форме применяется комплексная плоскость. У нее горизонтальная ось помечается знаком +1 , а вертикальная – символом +j . Термин действительной (реже вещественной) части используется для наименования горизонтальной оси, а для вертикальной - мнимой.
Обе составляющие (действительная и мнимая) КЧ являются прямоугольными проекциями вектора на соответствующие оси.
В представленном графике значение с=|ċ| именуется модулем КЧ и равно длине вектора. Другим параметром, определяющим положение радиус-вектора, является его угол поворота α от оси +1 до текущего положения ċ , считающийся аргументом. α=arqċ .
Катеты треугольника представляются через соотношения:
a=cosα, b=csinα .
Используя тригонометрическую форму для выражения КЧ можно представить его видом:
ċ=с(cosα+jsinα) .
Используя формулу Эйлера e jα = cosα+jbsinα , можно получить значение модуля в показательной форме ċ=сe jα .
В полярной форме выражение имеет вид:
ċ=с∠α.
Положение единичного вектора можно изобразить на комплексной плоскости:
Мнимая единица имеет свойства:
j=e j90° , j 2 =-1=e j180° , j 3 =jj 2 =-j=e j270° =e -j90° ,
j 4 =j 2 j 2 =1=e j0 =e j2Π , 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.
К КЧ применимо понятие сопряжения. Им называют те числа, которые равны по величине модулей и аргументов, но имеют разные знаки у аргументов.
ċ=a+jb=ce jα , ĉ=a-jb=ce jα .
Из графика видно, что изображенные векторами КЧ симметричны по отношению к горизонтальной оси.
КЧ и математические действия. Для их сложения или вычитания делается запись в алгебраическом выражении:
ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb .
В этом соотношении отдельно суммируются мнимые и вещественные составляющие: а=а 1 +а 2 , b=b 1 +b 2 .
Данные алгебраические сложения чисел выражают выполнение сложения соответствующих им векторов.
Выполняя сложение сопряженных чисел можно заметить, что их сумма выражается удвоенным значением вещественной составляющей:
ċ+ĉ=(а+jb)+(а-jb)=2а.
Выражения КЧ в показательной форме удобны для выполнения умножения или деления. При этом у них модули перемножают или делят, значения аргументов складывают либо вычитают.
ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .
В выражении с=с 1 /с 2 , α= α 1 -α 2 .
Нетрудно заметить, что при действии умножения длина вектора увеличивается в величину с 2 , а аргумент - на значение а 2 . При представлении КЧ векторами соблюдается закономерность: для умножения вектора на КЧ вида aе jα достаточно растянуть вектор в а раз и довернуть на угол α .
Для вычисления произведения сопряженных чисел достаточно взять квадрат их модуля:
ċĉ=(а+jb)(а-jb)=а 2 +b 2 , или ċĉ=сe jα сe -jα =с 2 .
Для перемножения и деления КЧ при определенных условиях удобно пользоваться их алгебраическим выражением. В таком виде действия проводятся по законам умножения многочленов и учете значения j 2 =-1 .
ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 a 2 -b 1 b 2)+j(b 1 a 2 +a 1 b 2) .
Для деления чисел достаточно избавиться от значения j в выражении знаменателя методом перемножения знаменателя и числителя на одно и то же выражение сопряженного знаменателя:
ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 a 2 +b 1 b 2)+(b 1 a 2 -a 1 b 2))/(a 2 2 +b 2 2)=a+jb;
a=(a 1 a 2 +b 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2);
b=(b 1 a 2 -a 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2).
Графики построенных векторных диаграмм могут иметь изображение:
Для выражения значения тока с синусоидальной формой пользуются соотношением i=Imsin(ωt+ψ) , которым изображают на комплексной плоскости вектор с длиной Im и углом наклона ψ к горизонту. Его выражение Im=Imejψ считают комплексной амплитудой для тока. представляют графиком:
Чтобы получить действующую величину для тока требуется комплексную амплитуду разделить на √2 .
İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Ie jψ .
В электротехнике заглавные буквы с расположенными над ними точками (E, U, I) используются для обозначения КЧ, выражающих синусоидальные зависимости от времени ЭДС, напряжения и тока.
Обозначение комплексной проводимости и сопротивления делается прописными буквами Y и Z , для показа их модулей используется строчное написание у и z . Обозначение комплексной мощности выполняется символом S со значком тильда "҇" над ним.
Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:
Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:
Исторические предпосылки
Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:
В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:
На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.
Мнимые числа стали настоящей палочкой - выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.
Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.
Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.
Из курса физики нам известно, что - это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.
В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи него электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.
В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:
Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.
Из определяют комплексное значение сопротивления:
Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление - в показательной форме.
Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров.
Дано:
напряжение на катушке 50 В,
сопротивление резистора 25 Ом,
индуктивность катушки 500 мГн,
электроемкость конденсатора 30 мкф,
сопротивление провода катушки 10 Ом,
частота сети 50 Гц.
Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.
Решение:
Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.
Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.
| Формулы | Обозначение и единицы измерения |
| Закон Ома для участка цепи постоянного тока | |
| 1. Напряжение на участке цепи, В U=ІR | I - сила тока на этом участке, А; R - сопротивление участке цепи, Ом; U - напряжение на участке цепи, В; |
| 2. Ток на участке цепи, А I=U/R | |
| 3. Сопротивление на участке цепи, Ом R=U/I | |
| 4. Сопротивление проводника постоянному току, Ом R 0 =ρ | ρ - удельное сопротивление, 10 -6 Ом∙м; l - длина, м; S - сечение, мм 2 ; |
| 5. Зависимость активного сопротивления проводника от температуры R=R 1 ∙ | R, R 1 - сопротивления проводника соответственно при температурах t и t 1 , 0 С, Ом; α -температурный коэффициент, 1/ 0 С; |
| 6. Общее сопротивление электрической цепи при последовательном соединении сопротивлений R=R 1 +R 2 +R 3 +…+R n | R - общее сопротивление цепи, Ом; R 1 ,R 2 ,R 3 …R n - сопротивления n резисторов, Ом; |
| 7. Сопротивление цепи из двух параллельных резисторов R=R 1 ∙R 2 /R 1 +R 2 | |
| С - общая емкость конденсаторов, Гн; С 1 ,С 2 ,С 3 … Сn - емкость отдельных конденсаторов цепи, Гн; | |
| 10. Мощность постоянного тока, Вт P=UI=I 2 R=U 2 /R | I - сила тока в цепи, А; U - напряжение в цепи, В; R - сопротивление, Ом; |
| 11. Энергия электрической цепи, Дж W=Pt | P - мощность в цепи, Вт; t - время, с; |
| 12. Тепловой эффект A=0,24∙I 2 ∙R∙t= 0,24∙U∙I∙t | A - количество выделяемого тепла, кал; t - время протекания тока; R - сопротивление, Ом; |
| Закон Ома при переменном токе | |
| 13. Ток, А I=U/Z | I - ток, А; U - напряжение, В; Z - полное сопротивление в цепи, Ом; - индуктивное сопротивление цепи, Ом; Z=  = X L =ωL – индуктивное сопротивление цепи, Ом X C =1/ωC – емкостное сопротивление цепи, Ом ω - угловая частота сети, с -1 ; f - частота переменного тока, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф;
|
| 14. Напряжение, Вт U=I∙Z | |
| 15. Закон Кирхгофа для узла (1-й закон): для замкнутого контура (2-й закон): E= = | I i - токи в отдельных ветвях цепи, сходящихся в одной точке, А i=(1,2,3,…); E - ЭДС, действующая в контуре, В; U - напряжение на участке контура, В; Z - полное сопротивление участка, Ом; |
| 16. Распределение тока в двух параллельных ветвях цепи переменного тока I 1 /I 2 = Z 2 /Z 1 | I 1 - ток первой цепи, А; I 2 - ток второй цепи, А; Z 1 - сопротивление первой ветви, Ом; Z 2 - сопротивление второй ветви, Ом; |
| 17. Полное сопротивление, Ом Z= | R - активное сопротивление, Ом; X L - индуктивное сопротивление, Ом; X C - емкостное сопротивление, Ом; |
| 18. Реактивное (индуктивное) сопротивление, Ом X L =ωL=2 ∙f∙L | ω- угловая частота, рад/с; f - частота колебаний, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф; X - полное реактивное сопротивление, Ом; |
| 19. Реактивное (емкостное) сопротивление, Ом X C =1/ωL= 1/2 ∙f∙L | |
| 20. Полное реактивное сопротивление X= X L - X C | |
| 21. Индуктивность катушки, Гн без стального сердечника: L= 10 -8 со стальным сердечником: L= μ 10 -8 | n- число витков катушки; S - площадь среднего сечения обмотки, составляющей катушку, см 2 ; l - длина катушки, см; μ - магнитная проницаемость материала сердечника, Гн/м; |
| 22. Закон электромагнитной индукции для синусоидального тока E= 4,44∙f∙ω∙B∙S∙10 -4 | E - наведенная ЭДС, В; f - частота, Гц; ω- число витков обмотки; B -индукция магнитная, Тл; S - сечение магнитопровода, см 2 ; |
| 23. Электродинамический эффект тока для двух параллельно расположенных проводников F=I m 1 ∙ I m 2 ∙ ∙10 -7 | F - сила, действующая на проводниках, Н; I m 1 , I m 2 - амплитудные значения токов в параллельных проводниках, А; l - длина проводника, см; α - расстояние между проводниками, см; |
| 24. Зависимости для цепи переменного тока ток в цепи: I= I R =I∙cosω I X =I∙ sinω напряжение в цепи: U= U R =U∙ cosω U X =U∙ sinω | I - ток в цепи, А; I R - активная составляющая тока, А; I X - реактивная составляющая тока, А; U - напряжение в цепи, В; U R - активная составляющая напряжения, В; U X - реактивная составляющая напряжения, В; |
| 25. Соотношение токов и напряжений в трехфазной системе а) соединение «звезда»: I Л =I Ф, U Л =1,73∙U Ф; б) соединение «треугольник»: U Л = U Ф, I Л =1,73∙I Ф; | I Л - ток линейный, А; I Ф - ток фазный, А; U Л - напряжение линейной, В; U Ф - напряжение фазное, В; |
26. Коэффициент мощности cos  | P - реактивная мощность, Вт; S - полная мощность, В∙А; R - активное сопротивление, Ом; Z - полное сопротивление, Ом; |
| 27. Мощность и энергия тока в цепи переменного тока а) цепь однофазного тока: P=I∙U∙ cos , Q=I∙U∙sin , S=IU= ; W R =I∙U∙ cos ∙t; W X = I∙U∙sin ∙t; б) цепь трехфазного тока: P= ∙I∙U∙ cos ; Q= ∙I∙U∙sin ; W R = ∙I∙U∙ cos ∙t; W X = ∙I∙U∙sin ∙t; | Q - реактивная мощность, вар; W R - активная энергия, Вт∙ч; W X - реактивная энергия, вар∙ч; t - время протекания тока, ч; S - полная мощность, В∙А; |
28. Реактивная мощность конденсатора, Вар Q C =U 2 ∙ω∙C=U 2 ∙2П∙f∙C,
где конденсатора, Ф С=  | I C - ток, протекающий через конденсатор, А; U - напряжение, приложенное к конденсатору, В; |
| 29. Синхронная частота вращения электрической машины, об./мин n= | f - частота питающей сети, Гц; p - число пар полюсов машины; |
| 30. Вращающий момент электрической машины, Н∙м M=9,555∙ | P - мощность, Вт; n - частота вращения, об./мин; |
Приложение 13
Расчёт сложных электрических цепей
В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.
Используя законы Ома и Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.
Одним из методов расчёта сложных электрических цепей является метод наложение токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из ЭДС цепи в отдельности. На рис. изображена цепь, содержащая три источника с ЭДС E 1 , E 2 , E 3 и четыре последовательно соединенных резистора R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи R =R 1 +R 2 +R 3 +R 4 . Допустим сначала, что ЭДС первого источника E 1 ≠ 0, а второго и третьего E 2 = 0 и E 3 = 0. Затем положим E 2 ≠ 0, а E 1 = 0 и E 3 = 0. И наконец, полагаем E 3 ≠ 0, а E 1 = 0 и E 2 = 0. В первом случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E 1 , равен I 1 = E 1 /R; во втором случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E 2, равен I 2 = E 2 /R ; в третьем случаи ток равен I 3 = E 3 / R и совпадает по направлению с ЭДС E 3. Так как ЭДС E 1 и E 3 совпадает по направлению в контуре, то и токи I 1 и I 3 также совпадают, а ток I 2 имеет противоположное направление, так как ЭДС E 2 направлена встречно по отношению к ЭДС E 1 и E 3 . Следовательно, ток в цеп равен
I = I 1 – I 2 + I 3 = E 1 / R – E 2 / R + E 3 / R =
= (E 1 – E 2 + E 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 ).
Электрическая цепь с тремя источниками энергии
Направление на любом участке цепи, например между точками а и б ,равно U аб = IR 4 .
При расчёте сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех ЭДС.
Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направления тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком « - ». Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причём число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.
Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление. Пусть ЭДС источников E 1 = E 2 =120B, их внутренние сопротивления R 1 = 3 Ом и R 2 = 6 Ом, сопротивление нагрузки R = 18 Ом.
Так как число неизвестных токов 3, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I 1 + I 2 . Второе уравнение запишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивление нагрузки: E 1 = I 1 R 1 + IR . Аналогично запишем третье уравнение: E 2 = I 2 R 2 + IR . Подставляя числовые значения, получим 120 В = 3I 1 + 18I и 120 В = 6I 2 + 18I . ТаккакE 1 – E 2 = I 1 R 1 – I 2 R 2 = 3I 1 – 6I 2 = 0, тоI 1 = 2I 2 иI = 3I 2 . Подставляя эти значения в выражение для ЭДС E 1 , получим 120 =
2I 2 × 3 + 18 × 3I 2 = 60I 2 , откуда I 2 = 120 / 60 = 2A, I 1 = 2I 2 = 4A, I = I 1 ++ I 2 = 6A.
В сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений. Обозначив потенциалы в узловых точках φа – φб, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т.е.
U = φа – φб.
а 
б
Схема к расчету сложно электрической цепи:
а – по методу узловых напряжений;
б – по методу контурных токов
Приняв за положительное направление ЭДС и токов в ветвях от узла, а к узлу б для каждой из ветвей, можно записать равенства: I 1 = (φа – φб – E 1 )/
/ R 1 = (U – E 1 )g 1 ; I 2 = (φа – φб – E 2 ) / R 2 = (U – E 2 )g 2 ; I 3 = (φа – φб – E 3 ) / / R 3 = (U – E 3 )g 3; I = (φа – φб) / R = Ug .
На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем I 1 + I 2 + + I 3 +I = 0. Подставим в эту сумму значения токов, найдем
(U – E 1 )g 1 + (U + E 2 )g 2 + (U – E 3 )g 3 + Ug = 0,
U = (E 1 g 1 – E 2 g 2 + E 3 g 3 ) / (g 1 + g 2 + g 3 + g ) =
= Σ Eg / Σ g ,
т.е. узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей. Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для оков в ветвях, легко определить эти токи.
Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и ЭДС, применяют метод контурных токов. Который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, первый из которых представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй – другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от взаимного относительного направления.
При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров. Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R 11 , R 22 и т.д., а вторую – индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R 12 , R 13 и т.д.
Такими как электрический ток, напряжение, сопротивление и мощность. Настал черед основных электрических законов, так сказать, базиса, без знания и понимания которых невозможно изучение и понимание электронных схем и устройств.
Электрический ток, напряжение, сопротивление и мощность, безусловно, между собой связаны. А взаимосвязь между ними описывается, без сомнения, самым главным электрическим законом – законом Ома . В упрощенном виде этот закон называется: закон Ома для участка цепи. И звучит этот закон следующем образом:
«Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи».
Для практического применения формулу закона Ома можно представить в виде вот такого треугольника, который помимо основного представления формулы, поможет определить и остальные величины.
Работает треугольник следующим образом. Чтобы вычислить одну из величин, достаточно закрыть ее пальцем. Например:
В предыдущей статье мы проводили аналогию между электричеством и водой , и выявили взаимосвязь между напряжением, током и сопротивлением. Также хорошей интерпретацией закона Ома может послужить следующий рисунок, наглядно отображающий сущность закона:
На нем мы видим, что человечек «Вольт» (напряжение) проталкивает человечка «Ампера» (ток) через проводник, который стягивает человечек «Ом» (сопротивление). Вот и получается, что чем сильнее сопротивление сжимает проводник, тем тяжелее току через него проходить («сила тока обратно пропорциональна сопротивлению участка цепи» – или чем больше сопротивление, тем хуже приходится току и тем он меньше). Но напряжение не спит и толкает ток изо всех сил (чем выше напряжение, тем больше ток или – «сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению»).
Когда фонарик начинает слабо светить, мы говорим – «разрядилась батарейка». Что с ней произошло, что значит разрядилась? А значит это, что напряжение батарейки снизилось и оно больше не в состоянии «помогать» току преодолевать сопротивление цепей фонарика и лампочки. Вот и получается, что чем больше напряжение – тем больше ток.
При последовательном подключении потребителей, например обычных лампочек, сила тока в каждом потребителе одинаковая, а вот напряжение будет отличаться. На каждом из потребителей напряжение будет падать (снижаться).
А закон Ома в последовательной цепи будет иметь вид:
При последовательном соединении сопротивления потребителей складываются. Формула для расчета общего сопротивления:
При параллельном подключении, к каждому потребителю прикладывается одинаковое напряжение, а вот ток через каждый из потребителей, в случае, если их сопротивление отличается – будет отличаться.
Закон Ома для параллельной цепи, состоящей из трех потребителей, будет иметь вид:
При параллельном соединении общее сопротивление цепи всегда будет меньше значения самого маленького отдельного сопротивления. Или еще говорят, что «сопротивление будет меньше наименьшего».
Общее сопротивление цепи, состоящей из двух потребителей, при параллельном соединении:
Общее сопротивление цепи, состоящей из трех потребителей, при параллельном соединении:
Для большего числа потребителей расчет производится исходя из того, что при параллельном соединении проводимость (величина обратная сопротивлению) рассчитывается как сумма проводимостей каждого потребителя.
Мощность – это физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии. Рассчитывается мощность по следующей формуле:
Таким образом зная, напряжение источника и измерив потребляемый ток, мы можем определить мощность потребляемую электроприбором. И наоборот, зная мощность электроприбора и напряжение сети, можем определить величину потребляемого тока. Такие вычисления порой необходимы. Например, для защиты электроприборов используются предохранители или автоматические выключатели. Чтобы правильно подобрать средство защиты нужно знать потребляемый ток. Предохранители, применяемые в бытовой технике, как правило подлежат ремонту и для их восстановления достаточно
Details 28 March 2017Господа, в сегодняшней статье я хотел бы вам немного рассказать про комплексные числа и сигналы . Данная статья будет в основном теоретической. Ее задача - подготовить некоторый фундамент для возможности понимания дальнейших статей. Просто когда речь заходит про фазу или, допустим, про поведение конденсатора в цепи переменного тока, так сразу и начинаю лезть все эти комплексности. А про фазу все-таки хочется поговорить, штука важная. Нет, эта статья ни в коем случае не будет кратким курсом ТФКП, мы рассмотрим только лишь очень узкую область из этой вне всякого сомнения интересной и обширной темы. Итак, поехали!
Но прежде чем начать говорить непосредственно про комплексные числа, я бы хотел еще рассказать про такую любопытную штуку, как тригонометрический круг . Господа, вот мы с вами уже на протяжении аж трех (раз , два , три ) статей говорим про синусоидальный ток. Но как вообще формируется функция синуса? Да и косинуса тоже? Можно по-разному ответить на этот вопрос, но в контексте данной статьи я выбрал следующее объяснение. Взгляните, пожалуйста, на рисунок 1. На нем изображен так называемый тригонометрический круг.
Рисунок 1 - Тригонометрический круг
Там много всего намалевано, поэтому давайте разбираться постепенно что там есть что. Во-первых, там есть, собственно, некоторая окружность, центр которой совпадает с центром системы координат с осями Х и Y . Радиус этой окружности равен единице. Просто единице, без всяких вольт, ампер и прочего. Далее из центра этой окружности проведены два радиус-вектора ОА и ОЕ . Очевидно, длина этих векторов равна единице, потому что у нас окружность единичного радиуса. Угол между вектором ОА и осью Х равен φ 1 , угол между вектором ОЕ и осью Х равен φ 2
А теперь самое интересное, господа. Давайте рассмотрим, чему равны проекции этих векторов на оси Х и Y . Проекция вектора ОА на ось Х - это отрезок ОВ , а на ось Y - это отрезок ОС . И все вместе (сам вектор ОА и его проекции ОВ и ОС ) образует прямоугольный треугольник ОАВ . По правилам работы с прямоугольным треугольником мы можем найти его стороны ОВ и ОС , то есть проекции радиус вектора ОА на оси Х и Y :
Абсолютно аналогично можно найти соотношения для вектора OE:
Если не понятно почему так, советую погуглить про соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ну а мы для себя сейчас выносим один немаловажный вывод - проекция единичного вектора на ось Х равна косинусу угла между вектором и осью Х, а проекция на ось Y - синусу этого угла.
А теперь давайте начнем вращать радиус-вектор против часовой стрелки с некоторой частотой. Ну, так, чтобы он своим концом вычерчивал окружность. И, как вы уже, вероятно, догадались, при таком вращении проекция вектора на ось Х будет вырисовывать функцию косинуса, а проекция на ось Y - функцию синуса. То есть, если этот наш радиус-вектор делает за секунду, например, 50 оборотов (то есть вращается с частотой 50 Гц), то это значит, что его проекция на ось Х формирует функцию
а его проекция на ось Y - вырисовывает функцию
Довольно интересный факт на мой взгляд. И вообще тригонометрический круг - любопытная штука. Рекомендую познакомиться с ним поближе, погуглив на эту тему. Он позволяет многое лучше понять. Мы же сейчас рассмотрели только немногие из фич, которые нам будут нужны. Сейчас давайте пока временно оставим этот факт и поговорим непосредственно про комплексные числа.
Итак, господа, комплексное число - это выражение вида
a - это действительная часть комплексного числа z .
b - это мнимая часть комплексного числа z .
На самом деле в серьезных книжках по математике комплексное число определяют несколько по-другому, однако нас вполне устроит и такой вариант.
По-научному - это алгебраическая форма записи комплексного числа. Есть еще и другие, с ними познакомимся чуть позже.
а и b - это обычные числа, к которым мы с вами все привыкли. Например, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну и так далее. То есть абсолютно любые. Например, могут иметь место вот такие записи
А число j - это так называемая мнимая единица. Часто ее обозначают не j, а i, но i - это обычно ток в электротехнике, поэтому мы будем использовать буковку j. Что это такое? Формально, это можно записать так
Немного не понятно, как это может быть корень из отрицательного числа . Все мы с детства привыкли, что под корнем у нас только лишь положительные числа. Но математики ввели вот такую вот абстракцию, которая позволяет извлечь корень и из отрицательных чисел. И, как ни странно, подобная абстракция неплохо помогает описывать вполне себе реальные, а вовсе никакие не абстрактные процессы в электротехнике.
То есть мы видим, что комплексное число само по себе как бы просто состоит из двух самых обычных чисел. Да, перед втором стоит некоторое мифическое j, но сути дела это не меняет.
Давайте теперь познакомимся с графическим представление комплексных чисел .
Господа, взгляните на рисунок 2. Там как раз-таки это представление и изображено.
Рисунок 2 - Комплексная плоскость
Итак, в чем здесь, собственно, фишка? А фишка в том, что мы берем и рисуем систему координат. В ней мы ось Х обзываем Re , а ось Y - Im . Re - это ось действительных чисел, а Im - это ось мнимых чисел. Теперь на оси Re мы откладываем величину a , а на оси Im - величину b нашего комплексного числа z . В итоге мы получаем точку на комплексной плоскости с координатами (а, b) . И теперь можно провести радиус вектор из начала координат в эту точку. Собственно, этот вектор и можно считать комплексным числом.
Интересный факт: давайте представим, что b
равно 0. Тогда получается, что комплексное число вырождается в самое обыкновенно, «одномерное»: мнимая часть просто обнуляется. И, естественно, вектор в этом случае будет лежать на оси Re
. То есть, можно сказать, что все числа, которые нас окружают в обычной жизни, находятся на оси Re
, а комплексное число - это выход за пределы этой оси, в некотором роде расширение границ. Ну да не будем углубляться в это .
Давайте лучше углубимся в другое. А именно в то, как еще можно представить комплексные числа. Только что мы пришли к выводу, что комплексное число - по сути это вектор. А вектор можно характеризовать длинной и углом наклона , например, к оси Х. Действительно, эти два параметра полностью определяют любой вектор при условии, что у нас двумерное пространство, само собой. Для объема или какого-нибудь многомерного пространства (ужас какой) это не верно, а для двумерного - это так. Давайте теперь выразим сказанное математически. Итак, давайте теперь исходить из того, что нам известна длина вектора (обзовем ее | z| ) и угол φ 1 .
Что мы можем найти, исходя из этих знаний? Да вообще говоря, довольно много. По сути нам известна гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его углов, то есть, согласно каким-то там теоремам геометрии, прямоугольный треугольник полностью определен . Поэтому давайте найдем его катеты а и b :
А теперь, господа, можно сделать небольшой финт ушами? Помните алгебраическую запись комплексного числа? Ну, вот эту
Давайте-ка подставим сюда a и b , представленные через синусы с косинусами. Получим
Мы получили интересное выражение. Выражение вида
называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Она хороша, если нам известна длина нашего вектора |z| и угол его наклона φ 1 . Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амлитуду сиганала, а угол наклона - в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу, который мы нарисовали в начале статьи. Но к этому сходству мы вернемся чуть позже.
Господа, теперь нам осталось познакомиться с последней формой записи комплексного числа - показательной . Для этого необходимо знать так называемую формулу Эйлера . С вашего позволения я не буду затрагивать вывод этой формулы и рассматривать, откуда она взялась. Это немного выходит за рамки статьи и, к тому же, есть много источников, где, вне всякого сомнения, вам расскажут про вывод этой формулы гораздо более профессионально, чем это смогу сделать я. Мы же просто приведем готовый результат. Итак, формула Эйлера имеет вид
где е - это экспонента или, как ее еще называют, показательная функция. Для математиков это некоторый предел при стремлении чего-то там к бесконечности, а если по-простому - обычное число
Да, просто две целых и семь десятых .
А теперь сравните формулу Эйлера и тригонометрической записью комплексного числа. Не замечаете интереснейшего сходства? Скрестив эти два выражения, можно получить как раз-таки показательную форму записи комплексного числа:
Как ни странно, эта мудреная запись используется в электротехнике не так уж и редко.
Итак, мы познакомились с основными вариантами записи комплексных числе. Теперь давайте постепенно продвигаться к нашей любимой электротехнике. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.
Мы уже записывали этот закон неоднократно, например, в самой первой статье , посвященной переменному току. Правда, там был синус, а здесь косинус, но это абсолютно ничего не меняет по сути, просто тут косинус немного удобнее для объяснения.
А сейчас внимание, господа. Очень хитрая последовательность действий.
Во-первых, никто нам не мешает рассмотреть косинус, который стоит в этом выражении, на тригонометрическом круге, который мы чертили на рисунке 1 в самом начале статьи. А что? Почему нет? Будем представлять себе, что некоторый вектор Á m , равный амплитуде нашего косинусоидального напряжения, вращается в прямоугольной системе координат с круговой частотой ω . И тогда в силу выше изложенных обстоятельств его проекция на оси Х будет вырисовывать как раз наш закон v(t) . Вроде бы никакого подвоха пока нет.
Смотрим дальше. На оси Х проекция рисует нашу функцию времени, а ось Y пока что вообще не при делах. А что б она просто так не простаивала - давайте-ка считать, что это не просто абы какая ось Y, а ось мнимых чисел . То есть мы сейчас вводим то самое комплексное пространство. В этом пространстве при вращении вектора Á m (вектора обычно обозначаются буквой с точкой или стрелочкой сверху) в то время как его проекция на оси Х рисует косинус, на оси Y у нас будет рисоваться функция синуса. Вся фишка в том, что мы сейчас как бы скрещиваем тригонометрический круг с комплексной плоскостью. И в результате получаем что-то типа того, что показано на рисунке 3 (картинка кликабельна).
Рисунок 3 - Представление напряжения на комплексной плоскости
Что мы на нем видим? Собственно, то, о чем только что говорили. Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал
мы можем представить в тригонометрической форме вот так
или в показательной форме вот так
Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону
Проведем все рассуждения аналогичным образом. Единственное отличие будет в том, что теперь наш сигнал «рисуется» на мнимой оси Im, а ось Re как бы не при делах. Но вводя комплексное пространство, мы внезапно получаем, что комплексная запись сигнала для данного случая точно такая же, как и для случая косинуса. То есть и для сигнала
мы можем записать комплексное представление в тригонометрической форме вот так
или в показательной форме вот так
Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе инфу как про ось Х, так и про ось Y.
Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде
Или, например, в таком виде
Как понять - что он описывает: синус или косинус? Ответ - да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальный - мнимую . То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:
или так
А для случая синуса это выглядит вот так
или так
Здесь Re() и Im() - функции взятия действительной или мнимой части комплексного числа. Кстати, они определены во многих математических САПРах и их можно прям вот в таком виде использовать. То есть передавать им комплексное число, а на выходе получать дейтсвительную или мнимую часть.
Возможно, вы спросите: а зачем так все усложнять? Какая с этого выгода? В чем профит? Профит, безусловно, есть, но о нем мы поговорим чуть позже, в следующих статьях. На сегодня пока все, господа. Спсибо что прочитали и пока!
Вступайте в нашу
