© 2005 г. А. И. Саичев*, С. Г. Уткин*
ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТ АНОМАЛЬНОЙ К ЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
Рассматриваются многомерные процессы "квазианомальных" случайных блужданий, имеющие линейно-диффузионную асимптотику на больших временах и подчиняющиеся аномально-диффузионным закономерностям на промежуточных (также достаточно больших относительно микроскопических масштабов) временах. Демонстрируется переход скачкообразного процесса от аномальной к линейной диффузии. С помощью численного счета подтверждается справедливость аналитических расчетов для двумерного и трехмерного случаев. , .....
Ключевые слова: аномальная субдиффузия, аномальная супердиффузия, уравнения в частных дробных производных, промежутоная асимптотика, квазианомальные случайные блуждания.
1. ВВЕДЕНИЕ
Главным признаком аномальной диффузии служит нелинейный рост среднего квадрата случайного процесса со временем: >г: V» „
характерный, например, для таких физических явлений, как турбулентная диффузия , хаотическая динамика гамильтоновых систем , , перенос заряда в аморфных полупроводниках и др. Динамика подобных явлений адекватно моделируется скачкообразными случайными процессами с теми или иными распределениями / (г) интервалов между скачками и распределениями w(x) величины скачков.
Известно также, что аномальная диффузия возникает из-за нарушения центральной предельной теоремы (ЦПТ) или закона больших чисел (ЗБЧ) (см., например, ). В свою очередь, неприменимость ЗБЧ обусловлена бесконечностью первых моментов времени ожидания скачков, а нарушение ЦПТ связано с бесконечностью вторых моментов скачков. Эти обстоятельства служат объектом критики теории аномальной диффузии со стороны физиков, справедливо замечающих, что для большинства физических явлений указанные моменты ограничены.
"Нижегородский государственный университет, Нижний Новгород, Россия. E-mail: [email protected]; [email protected]
Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.
456 А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН;
Целью данной работы является демонстрация того факта, что аномальная субдиффузия может возникать и в "классическом случае", когда ЗБЧ и ЦПТ справедливы. А именно, наряду с детально исследованными "чисто" аномальными диффузионными процессами существуют и "квазианомальные" случайные процессы, подчиняющиеся законам линейной диффузии на очень больших временах и пространственных масштабах, а на "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные аномально-диффузионные асимптотики. Данная работа посвящена анализу именно таких квазианомальных случайных процессов в пространствах разной размерности. Обнаружено, в частности, что, в отличие от классической многомерной диффузии, случайные координаты аномально-диффузионного скачкообразного процесса статистически зависимы даже при независимых компонентах векторов случайных скачков.
2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению чч-.
*-----. < к 1
Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков т~к = tk - ifc-i и сами случайные скачки hk взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x), соответственно. Очевидно, что
где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени n-го скачка Т(п):
t = T(n) = ] " "
Используя очевидное соотношение эквивалентности для этих функций ~ !! N(t)^n T{n) и разбиение единицы - м. .„ >».. л ■ >. 1= ^IIn(z) = ^, z>0, "У ■ где x(z) - функция ступеньки, выведем уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса X (f): ©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /ехр (ш £ hk) V п=0 ^ ^ fc=1 " " Цена 18 дуб. Переплет Í р. ■го) аномальная субдиф-и ЦПТ справедливы. А ми диффузионными про-л, подчиняющиеся зако-анственных масштабах, ьные аномально-диффу-но таких квазианомаль-1. Обнаружено, в част-I, случайные координа-гически зависимы даже шяющиися простеише- 1лы ожидания скачков а также имеют одина-) 1ени п-го скачка Т(п): г > О, ^ " ической функции рас- ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ. .. Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию: Найденное выражение для лаплас-образа 0(u; s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса . Здесь f(s) -лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что Q(u; s) подчиняется уравнению 0(u;s) - w(u)Q(u;s) = ........... ÎM (2-2) Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить (в зависимости от вида распределений /(г) и w(x)) как классическое уравнение Колмогоро-ва-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии. 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЛУЖДАНИЙ X(t) Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей W(x; t) зависит от вида распределений /(г) и tu (ж), а точнее - от их лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W(x; t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения/(г) с лаплас-образом V "I + sp " > где S - малый параметр. Все моменты /(г) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение - (отвечающее значению 6 = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Рассмотрим случай, когда параметр 6 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/(5 достаточно велик. Тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии. Вначале, на временах t 1, поведение процесса зависит от тонкой структуры распределений / (г) ию(х) ияе отражает универсальных законов диффузии. Далее, на временах между 1 и 1/6, за счет медленно спадающих степенных хвостов распределения /(т) процесс подчиняется аномально-диффузионным законам. Затем, при t 3> 1/6, процесс подчиняется нормальному линейно-диффузионному закону благодаря экспоненциально убывающим при т 1/6 хвостам распределения /(г). Подставим f(s) (3.1) в уравнение (2.2) и обсудим его асимптотику при s 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах. Применительно к лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s Цена 18 ^уб. Переплет 1 р. и (2.2) примет вид А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН в ©(«;«) + - ш(«)]в(«; 5) = 1, а во втором/(в) ~ 1 - (1 + 8$) и, соответственно, «"§(«; э) + (1 + - й(«)]в(и; «) = в"-1. Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера > + [цг{х.^ _ * Ц*)] = < оо, или к обобщенному уравнению Колмогорова-Феллера А+б0)т*м) - ж{х-л)*ю(,х)} = 1«*« характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а2 по всем осям. Тогда из приведенных выше уравнений вытекают соответственно уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик: е- л ".(< "■ т? 2ч* "" ч"#""" " г(1 -0) Решение первого из них хорошо известно: хШх), !«*<-. (3.3) * " И" (х О- (1 + 1 + - где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе. Для того ч в п-мерном щ компонентам ного аргуме! /3-устойчиво Многомерна таг-Леффле Таким обрг диффузии . Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из (6.44), должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Дальнейшие этапы процесса измерения - возведение в квадрат и усреднение по времени - выполняются инерционным квадратичным вольтметром. Принцип работы измерителя функции корреляции (коррелометра) вытекает из формулы (6.45). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на канала, поступают на перемножитель, причем в одном из каналов сигнал задерживается на время . Для получения значения функции корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение. Независимо от величины Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (6.26). Элементы корреляционной матрицы этого случайного процесса определяются нормированной функцией корреляции: В дальнейшем часто будет использоваться двумерная гауссова плотность Стационарный гауссов процесс занимает исключительное место среди прочих случайных процессов - любая его многомерная плотность вероятности определяется даумя характеристиками: математическим ожиданием и функцией корреляции. Реляционная модель данных, которая была предложена Э.Ф. Коддом в 1970 году, и за которую десятилетие спустя он получил премию Тьюринга, служит основой современной многомиллиардной отрасли баз данных. За последние десять лет сложилась многомерная модель данных, которая используется, когда целью является именно анализ данных, а не выполнение транзакций. Технология многомерных баз данных - ключевой фактор интерактивного анализа больших массивов данных с целью поддержки принятия решения. Подобные базы данных трактуют данные как многомерные кубы, что очень удобно именно для их анализа. Многомерные модели рассматривают данные либо как факты с соответствующими численными параметрами, либо как текстовые измерения, которые характеризуют эти факты. В розничной торговле, к примеру, покупка - это факт, объем покупки и стоимость - параметры, а тип приобретенного продукта, время и место покупки - измерения. Запросы агрегируют значения параметров по всему диапазону измерения, и в итоге получают такие величины, как общий месячный объем продаж данного продукта. Многомерные модели данных имеют три важных области применения, связанных с проблематикой анализа данных. Исследователи предложили формальные математические модели многомерных баз данных, а затем эти предложения нашли уточненное отражение в конкретном программном инструментарии, реализующем эти модели . Врезка описывает эволюцию многомерной модели данных. Электронные таблицы, аналогичные показанной в таблице 1, представляют собой удобный инструмент для анализа данных о продажах: какие продукты проданы, сколько совершено сделок и где. Главная таблица (pivot table) - двумерная электронная таблица с соответствующими промежуточными и итоговыми результатами, которая используется для просмотра более комплексных данных путем вложения нескольких измерений по осям x и y и отображения данных на нескольких страницах. Главные таблицы, как правило, поддерживают итеративный выбор подмножеств данных и изменение отображаемого уровня детализации. Электронные таблицы не подходят для управления и хранения многомерных данных, поскольку они слишком жестко связывают данные с их внешним видом, не отделяя структурную информацию от желаемого представления информации. Скажем, добавление третьего измерения, такого как время, или группировка данных по обобщенным типам продуктов требует значительно более сложной настройки. Очевидное решение состоит в использовании отдельной электронной таблицы для каждого измерения. Но такое решение оправдано только в ограниченной степени, поскольку анализ подобных наборов таблиц быстро становится чересчур громоздким. Использование баз данных, поддерживающих SQL, значительно увеличивает гибкость обработки структурированных данных. Однако сформулировать многие вычисления, такие как совокупные показатели (объем продаж за год к текущему моменту), сочетание итоговых и промежуточных результатов, ранжирование, например, определение десяти самых продаваемых продуктов, посредством стандартного варианта SQL весьма сложно, если вообще возможно. При перестановке строк и столбцов необходимо вручную специфицировать и комбинировать различные представления. Расширения SQL, такие как оператор кубов данных и окна запросов частично решают эти задачи, в целом чистая реляционная модель не позволяет на приемлемом уровне работать с иерархическими измерениями. Электронные таблицы и реляционные базы данных адекватно обрабатывают массивы данных, которые имеют незначительное число измерений, но они не полностью отвечают требованиям углубленного анализа данных. Решение же состоит в том, чтобы использовать технологию, которая предусматривает поддержку полного спектра средств многомерного моделирования данных. Многомерные базы данных рассматривают данные как кубы, которые являются обобщением электронных таблиц на любое число измерений. Кроме того, кубы поддерживают иерархию измерений и формул без дублирования их определений. Набор соответствующих кубов составляет многомерную базу данных (или хранилище данных). Кубами легко управлять, добавляя новые значения измерений. В обычном обиходе этим термином обозначают фигуру с тремя измерениями, однако теоретически куб может иметь любое число измерений. На практике чаще всего кубы данных имеют от 4 до 12 измерений . Современный инструментарий часто сталкивается с нехваткой производительности, когда так называемый гиперкуб имеет свыше 10-15 измерений. Комбинации значений измерений определяют ячейки куба. В зависимости от конкретного приложения ячейки в кубе могут располагаться как разрозненно, так и плотно. Кубы, как правило, становятся разрозненными по мере увеличения числа размерностей и степени детализации значений измерений. На рис. 1 показан куб, содержащий данные по продажам в двух датских городах, указанных в таблице 1 с дополнительным измерением - «Время». В соответствующих ячейках хранятся данные об объеме продаж. В примере можно обнаружить «факт» - непустую ячейку, содержащую соответствующие числовые параметры - для каждой комбинации время, продукт и город, где была совершена, по крайней мере, одна продажа. В ячейке размещаются числовые значения, связанные с фактом - в данном случае, это объем продаж - единственный параметр. В общем случае куб позволяет представить только два или три измерения одновременно, но можно показывать и больше за счет вложения одного измерения в другое. Таким образом, путем проецирования куба на двух- или трехмерное пространство можно уменьшить размерность куба, агрегировав некоторые размерности, что ведет к работе с более комплексными значениями параметров. К примеру, рассматривая продажи по городам и времени, мы агрегируем информацию для каждого сочетания город и время. Так, на рис. 1, сложив поля 127 и 211, получаем общий объем продаж для Копенгагена в 2001 году. Измерения - ключевая концепция многомерных баз данных. Многомерное моделирование предусматривает использование измерений для предоставления максимально возможного контекста для фактов . В отличие от реляционных баз данных, контролируемая избыточность в многомерных базах данных, в общем, считается оправданной, если она увеличивает информационную ценность. Поскольку данные в многомерный куб часто собираются из других источников, например, из транзакционной системы, проблемы избыточности, связанные с обновлениями, могут решаться намного проще. Как правило, в фактах нет избыточности, она есть только в измерениях. Измерения используются для выбора и агрегирования данных на требуемом уровне детализации. Измерения организуются в иерархию, состоящую из нескольких уровней, каждый из которых представляет уровень детализации, требуемый для соответствующего анализа. Иногда бывает полезно определять несколько иерархий для измерения. Например, модель может определять время как в финансовых годах, так и в календарных. Несколько иерархий совместно используют один или несколько общих, самых низких уровней, например, день и месяц, и модель группирует их в несколько более высоких уровней - финансовый квартал и календарный квартал. Чтобы избежать дублирования определений, метаданные многомерной базы данных определяют иерархию измерений. На рис. 2 показана схема «Местоположение» для данных продаж из таблицы 1. Из трех уровней измерений местоположения самый низкий - «Город». Значения уровня «Город» группируются в значения на уровне «Страна», к примеру, Аалборг и Копенгаген находятся в Дании. Уровень T представляет все измерения. В некоторых многомерных моделях уровень имеет несколько связанных свойств, которые содержат простую, неиерархическую информацию. Например, «Размер пакета» может быть свойством уровня в измерении «Продукт». Измерение «Размер пакета» может также получать эту информацию. Использование механизма свойств не приводит к увеличению числа измерений в кубе. В отличие от линейных пространств, с которыми имеет дело алгебра матриц, многомерные модели, как правило, не предусматривают функций упорядочивания или расстояния для значений измерения. Единственное «упорядочивание» состоит в том, что значения более высокого уровня содержат значения более низких уровней. Однако для некоторых измерений, таких как время, упорядоченность значений размерности может использоваться для вычисления совокупной информации, такой как общий объем продаж за определенный период. Большинство моделей требуют определения иерархии измерений для формирования сбалансированных деревьев - иерархии должны иметь одинаковую высоту по всем ветвям, а каждое значение не корневого уровня - только одного родителя. Факты представляют субъект - некий шаблон или событие, которые необходимо проанализировать. В большинстве многомерных моделей данных факты однозначно определяются комбинацией значений измерений; факт существует только тогда, когда ячейка для конкретной комбинации значений не пуста. Однако некоторые модели трактуют факты как «объекты первого класса» с особыми свойствами. Большинство многомерных моделей также требуют, чтобы каждому факту соответствовало одно значение на более низком уровне каждого измерения, но в некоторых моделях это не является обязательным требованием . Каждый факт обладает некоторой гранулярностью, определенной уровнями, из которых создается их комбинация значений измерений. Например, гранулярность факта в кубе, представленном на рис. 1 - это (Год x Продукт x Город). (Год x Тип x Город) и (День x Продукт x Город) - соответственно более грубая и более тонкая гранулярности. Хранилища данных, как правило, содержат следующие три типа фактов . Хранилище данных часто содержит все три типа фактов. Одни и те же исходные данные, например, движение товаров на складе, могут содержаться в трех различных типах кубов: поток товаров на складе, список товаров и поток за год к текущей дате. Параметры состоят из двух компонентов: В многомерной базе данных параметры, как правило, представляют свойства факта, который пользователь хочет изучить. Параметры принимают различные значения для разных комбинаций измерений. Свойство и формула выбираются таким образом, чтобы представлять осмысленную величину для всех комбинаций уровней агрегирования. Поскольку метаданные определяют формулу, данные, в отличие от случая электронных таблиц, не тиражируются. При вычислениях три различных класса параметров ведут себя совершенно по-разному. Аддитивные и неаддитивные параметры могут описывать факты любого рода, в то время как полуаддитивные параметры, как правило, используются с мгновенными снимками или совокупными мгновенными снимками. Многомерная база данных естественным образом предназначена для определенных типов запросов. Многомерные базы данных реализуют в двух основных формах. Системы MOLAP, как правило, позволяют добиться более эффективного использования дискового пространства, а также меньшего времени ответов при обработке запросов. Самые важные методы увеличения производительности в многомерных базах данных - это предвычисления (precomputation). Их специализированный аналог - предагрегирование (preaggregation), которое позволяет сократить время ответа на запросы, охватывающие потенциально огромные объемы данных, в степени, достаточной для проведения интерактивного анализа данных. Вычисление и сохранение, или «материализация», сводных объемов продаж по странам и месяцам, - пример предагрегирования. Такой подход позволяет быстро получать ответы на запросы, касающиеся общего объема продаж, к примеру, в одном месяце, в одной стране или по кварталу и стране одновременно. Эти ответы можно получить из предварительно вычисленных данных и нет необходимости обращаться к информации, размещенной в хранилище данных. Современные коммерческие реляционные базы данных, а также специализированные многомерные системы, содержат средства оптимизации запросов на основе предварительно вычисленных агрегатов (aggregate) и автоматического перевычисления хранимых агрегатов при обновлении базовых данных . Полное предагрегирование - материализация всех сочетаний агрегатов - невозможно, поскольку требует слишком большого дискового пространства и времени на предварительные вычисления. Вместо этого современные системы OLAP следуют более практическому подходу к предагрегированию, материализуя только избранные комбинации агрегатов, а затем используя их для более эффективного вычисления других агрегатов . Повторное использование агрегатов требует поддержания корректной многомерной структуры данных. Torben Bach Pedersen, Christian S. Jensen, Multidimensional Database Technology. IEEE Computer, December 2001. Copyright IEEE Computer Society, 2001. All rights reserved. Reprinted with permission.
Страницы 513-523 Многомерные
процессы
До сих пор мы рассматривали модели, которые состоят
только из одного соотношения, связывающего временные ряды. При этом мы выбирали
одну из переменных в качестве эндогенной, а остальные переменные являлись экзогенными.
Такое разделение не всегда является естественным, часто приходится
рассматривать одновременно несколько соотношений, в которые одни и те же
переменные входят и как эндогенные, и как экзогенные. Как видно из прошлой
лекции, переменная не всегда может рассматриваться как экзогенная, и мы
фактически должны рассматривать модель DGP, состоящую из
нескольких уравнений. Это означает моделирование нескольких временных рядов
одновременно, другими словами - моделирование многомерного случайного процесса. Начнем с определении. Рассмотрим вектор =(х
t 1 ,х
t 2 ,...,х
t
k)
T
, каждая компонента которого
является временным рядом. верхним индексом будем обозначать номер компоненты, а
нижним по-прежнему - момент времени. распределение компонент характеризуется
семейством совместных плотностей распределения вида: f
n (х
t1
i1 ,х
t2
i2 ,..., х
tn
in
)‚ n=1‚2,.... Условием стационарности в узком
смысле по-прежнему является независимость от сдвига во времени всего семейства
совместных плотностей распределения. Только теперь кроме всевозможных
комбинаций значений случайного процесса в различные моменты времени аргументами
плотностей вероятности также являются всевозможные комбинации различных
компонент в различные моменты времени. Например, для двухмерной плотности получаем из условия стационарности: f
2
(х
t
1
,х
t
2
) =
f
2
(х 1
t
+
r
, х 2
t
+
r
)
для любого τ. Совместное распределение компонент для одного и
того же момента времени не зависит от времени. Рассмотрим другую функцию
распределения, например трехмерную, в которую входят значения первой компоненты
в два разных момента времени и второй компоненты в некоторый третий момент
времени. Стационарность означает, чтоf
3
(х
t
1
,х
t
+
h
1
,х
t
+
s
2
) =
f
3
(х 1
t
+
τ
, х 2
t
+
s
+
τ
)
.
Можно сказать, что это свойство инвариантности к сдвигу во времени. То есть,
если к каждому моменту времени прибавить величину τ, то функция плотности не изменится. Понятно, что стационарность
многомерного процесса влечет за собой стационарность каждой из его компонент. Как и в одномерном случае, стационарность в узком
смысле влечет за собой ряд свойств характеристик случайных процессов. Прежде
всего, начнем с математического ожидания. Математическое ожидание для каждой
компоненты не зависит от других компонент. Поэтому если многомерный процесс
стационарен, математическое ожидание каждой компоненты не зависит от времени.
Вектор математических ожиданий E( Теперь рассмотрим моменты второго порядка. Каждая
компонента характеризуется дисперсией и автокорреляционной функцией. Если
одномерный ряд стационарен, его автокорреляционная и автоковариационная функции
зависят только от сдвига τ: Corr(τ) = Corr(х
t
i
,х
j
t
+
r
) = р i (τ), однако теперь можно
рассмотреть второй смешанный момент для различных компонент, а также Corr(х
t
i
,х
j
t
+
r
). Такую величину
естественно назвать кросс-корреляционной функцией. Если компоненты образуют
многомерный стационарный процесс, то кросс-корреляция будет функцией сдвига во
времени τ. Обозначим эту функцию R ij (τ)
. Довольно очевидно,
что R ij (τ)
= R ji (-
τ)
. При фиксированном значении τ элементы R ij (τ)
образуют матрицу R,
зависящую от τ. Значению τ, равному нулю, соответствует корреляционная
матрица вектора Аналитическое
прогнозирование многомерных процессов.
Метод обобщенного
параметра.
Цель
работы:
изучение
практических приемов прогнозирования
состояния многопараметрического
объекта. Краткие
теоретические сведения:
Изменение
состояния технических систем можно
рассматривать как процесс, характеризуемый
изменениями некоторого множества
параметров. Положение вектора состояния
в пространстве определяет степень
работоспособности системы. Состояние
системы характеризуется вектором в
k-мерном
пространстве, где координатами
пространства служат k
параметров системы ,
. Прогнозирование
состояния сводится к периодическому
предварительному контролю параметров; определению в моменты t i
T 1
контроля функции состояния Q =Q[
При этом
чем дальше будет расположен вектор
состояния от гиперповерхности допустимых
значений степени работоспособности Q
*
, тем выше работоспособность диагностируемой
системы. Чем меньше разность
*
, тем ниже
уровень работоспособности. Использование
методов аналитического прогнозирования
предполагает регулярность изменения
компонентов процесса во времени. Идея
метода обобщенного параметра заключается
в том, что процесс, характеризуемый
многими компонентами, описывается
одномерной функцией, численные значения
которой зависят от контролируемых
компонентов процесса. Такая функция
рассматривается как обобщенный параметр
процесса. При этом может оказаться, что
обобщенный параметр не имеет конкретного
физического смысла, а является
математическим выражением, построенным
искусственно из контролируемых
компонентов прогнозируемого процесса. При
обобщении параметров, характеризующих
степень работоспособности технических
систем, необходимо решение следующих
задач: Определения
относительных значений первичных
параметров; Оценки значимости
первичного параметра для оценки состояния
объекта; Построения
математического выражения для обобщенного
параметра. Определение
относительных значений первичных
параметров необходимо в связи с тем,
что состояния объекта может характеризоваться
параметрами, имеющими различную
размерность. Поэтому все контролируемые
первичные параметры следует свести к
единой системе исчисления, в которой
они могут быть сравнимыми. Такой системой
является система безразмерного
(нормированного) относительного
исчисления. Реально
для каждого параметра ,s
= 1, 2, …, k
можно выделить допустимое значение, * ,
при достижении которого объект теряет
работоспособность, и оптимальное
значение опт
(зачастую оно равно номинальному значению
н). Пусть в
процессе эксплуатации объекта соблюдается
условие.
Если
Запишем
безразмерный (нормированный) параметр
в виде: где
Таким
образом, с помощью выражения (1) нормируется
параметр
,
а безразмерная нормированная величинаизменяется с течением времени от 1 до
0. Отсюда по величинеможно судить о степени работоспособности
объекта по данному параметру. Теоретически
может быть,
но это означает, что на практике объект
неработоспособен. Можно
указать различные нормируемые выражения,
которые оказываются удобными при решении
частных задач, например: и т. п., где
Использование
нормирующих выражений позволяет получить
совокупность безразмерных величин,
которые характеризуют состояние объекта.
Однако количественно одинаковое
изменение этих величин не является
равнозначным по степени влияния на
изменение работоспособности объекта,
поэтому необходимо дифференцировать
первичные параметры. Этот процесс
осуществляется с помощью весовых
коэффициентов, величины которых
характеризуют важность соответствующих
параметров для физической сущности
задачи. Пусть в таком случае параметрам
объекта
Степень
работоспособности объекта по множеству
контролируемых параметров можно оценить
с помощью обобщающего выражения Где
- обобщенный параметр объекта. Выражение
(2) представляет собой линейное среднее.
Из определения обобщенного параметра
следует, что чем больше величина
и,
тем больше вкладS
– го слагаемого (параметра) в
. Обобщенный
параметр можно определить с помощью
выражения вида которое представляет
собой нелинейного среднее. Для такой
модели также соблюдается условие: чем
больше
и,
тем больший вклад вносит слагаемое На
практике находят применение и другие
формы записи нелинейного среднего,
например: где
подбирает так, чтобы (5) давая лучшее
приближения к результатам, полученным
экспериментальным путем. При
рассмотрении выражений для обобщенного
параметра считалось, что
не меняет знака, т. е. всегда
.
Если же необходимо учитывать знак,
выражение (2) преобразуется к виду Таким
образом, использование обобщенного
параметра позволяет свести задачу
прогнозирования состояния
многопараметрического объекта к
прогнозированию одномерной временной
функции. Пример.
Испытания объекта в течении 250 часов, у
которого контролировалось 6 параметров,
дали результаты, приведенные в таблице1. Таблица1
I н,
ном = 9,5 V g1 .
ном = 120 I а,
ном = 2,0 I g3 ,
ном = 70 После
нормирования значений параметров с
помощью выражения (1) таблица принимает
вид (таблица2) Таблица2
Электронные таблицы и отношения
Кубы
Измерения
Факты
Параметры
Запросы
Реализация
Сокращение времени ответа при обработке запросов
Литература
не зависит от
времени.
] и расчете значений
функцииQ
состояния в области значений времениT 2
> T 1 .
,
достаточно ввести в местоновый параметр
и тогда длябудет соблюдаться требуемое условие.
,
причем при
, а при
.
– соответственно текущее, нулевое, мат.
ожиданиеS
– го параметра.
соответствуют весовые коэффициенты
,
удовлетворяющие тем или иным заданным
критериям, причем 
.
,
(3)
в величину.
,
(4)
,
(5)
,
(6)
