В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .
В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .
Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.
Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:
Определение 1
Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Пример 1
Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .
Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .
Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Пример 2
Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .
Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.
В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Урок математики в 7 а классе
| 1. | ФИО (полностью) | Трофименко Надежда Павловна |
| 2. | Место работы | МОУ «Милославская школа» |
| 3. | Должность | Учитель математики |
| 4. | Предмет | |
| 5. | Класс | |
| 6. | Тема и номер урока в теме | Вынесение общего множителя за скобки (1 урок в теме) |
| 7. | Базовый учебник | Ю.М. Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова,М.И. Шабунин. « Алгебра 7 класс» учебник для общеобразовательных организаций.М.Просвещение.2016. |
8. Цели урока
Для учителя:
образовательные
организовать учебную деятельность:
По освоению алгоритма вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;
По выработке умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки
развивающие
создать условия для развития регулятивных умений:
Самостоятельно определять цели учебной деятельности;
Планировать пути достижения целей;
Соотносить свои действия с планируемыми результатами;
Контролировать и оценивать учебную деятельность по результатам;
Организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
- воспитательные
Создать условия для формирования ответственного отношения к учению;
Создать условия для развития самостоятельности учащихся в организации и осуществлении своей учебной деятельности.
Создать условия для патриотического воспитания
Создать условия для экологического воспитания
Для учащихся:
Освоить алгоритм вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;
Выработать умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки
9.Используемые УУД: регулятивные (Целеполагание, планирование деятельности, контроль и оценка)
10.Тип урока: изучение нового материала
11.Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная
12. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, эмблема урока, учебники по математике, электронная презентация, выполненная в программе Power Point, раздаточный материал
Структура и ход урока
| Этапы урока | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Образовательный | ||
| Организационный | Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас! Девиз нашего урока: Я слышу и забываю. Придадим нашему уроку необычную окраску(эмблема зеленого дерева и красного сердца), эмблема на доске. В конце урока мы раскроем секрет этой эмблемы | Проверяют рабочее место, приветствуют учителя, включаются в рабочий ритм урока | |||
| Актуализация знаний и мотивация | Сегодня на уроке вы изучите новый материал. Но прежде поработаем устно. 1.Выполнить умножение одночленов: 2а 2 *3ав; 2ав*(-а 4) ; 6х 2 *(-2х); -3с*5х; -3х*(-ху 2);-4а 2 в*(-0,2ав 2) При правильном ответе открывают первую букву 2) Какие одночлены следует поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: х 3 * = х 6 ; - а 6 = а 4 *; *у 7 = у 8 ; -2а 3 * = 8а 5 ; 5ху 4 * = 25х 2 у 6 . При правильном ответе открывают вторую букву 3) Представить одночлен 12х 3 у 4 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 2х 3 ; 3у 3 ; -4х ; 6ху ; -2х 3 у ; 6х 2 у 2 . При правильном ответе открывают третью букву 4) Представить различными способами одночлен 6х 2 у в виде произведения двух множителей. Открываем 4 букву 5) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстановите его …*(х – у) = 3ах – 3ау …*(-х + у 2 – 1) = ху 2 – у 4 +у …*(а +в – 1) = 2ах +2вх – 2х …*(а – в) = а 2 в – а 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2 .Открываем 5 букву 6.Вычислить 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Открываем 6 букву. Из букв получилась фамилия немецкого математика. | Устно выполняют задание Комментируют решение, используя правила Открывают буквы на доске Ученик(получил заранее задание) Историческая справка : Михель Штифель (1487-1567), немецкий математик и странствующий проповедник; автор книги “Полная арифметика», он ввёл термин «показатель степени», а также рассматривал свойства многочленов и внес существенный вклад в развитие алгебры.(фото) | |||
| 3.Целеполагание и мотивация | Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. | На доске: Найти значение выражения а 2 – 3ав при а = 106,45; в = 2,15 . Как это сделать? а) Можно подставить числовые значения а и в и найти значение выражения, но это сложно. в) А можно поступить иначе? Как? На доске записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки.» Ребята, пишем аккуратно! Помним, что для производства тонны бумаги требуется спилить примерно 17 взрослых деревьев. Попробуем поставить цели урока по схеме: С какими понятиями познакомится? Какие навыки и умения освоим? | Предлагают свои варианты решения | ||
| 4. Усвоение новых знаний и способов усвоения (первичное знакомство с материалом) | Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы | Открываем учебник стр 120-121, читаем и отвечаем на вопросы стр 121. Выделяют пункты алгоритма Алгоритм вынесения общего множителя за скобки Найти общий множитель коэффициентов многочленов Вынести его за скобку 3. Учитель:
Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении “Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь” функцию общего множителя выполняет глагол “взять”, а книга, тетрадь и ручка – это дополнения. 4 Я написала правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы. Попрубуйте нарисовать схематично правило вынесения общего множителя | Читают материал Отвечают на вопросы Находят лист с алгоритмом
А, теперь попробуйте вы: На доске рисуют обратную схему | ||
| 5. Релаксация | Включает мультфильм « задание на лето» Из зимней погоды попадаем в теплое лето. Но фрагмент поучительный, попробуйте уловить главную мысль | Смотрят фрагмент мультфильма и делают вывод о красоте родного края | Фрагмент мультфильма « Задание на лето» | ||
| 6.Первичное закрепление | Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу. | Фронтально у доске: № 318, 319, 320,321,324,325,328 По очереди, по желанию | Решают у доски с комментариями | ||
| 6. Организация первичного контроля | Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков | Самостоятельно решают по тексту на листочках и проверяют по ответам на доске: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (дифференцированно) 1 вариант Закончите разложение многочлена на множители: 5ах – 30ау = 5а(…………..) х 4 – 5х 3 – х 2 = х 2 (…………..) Разложите на множители многочлен - 5ав + 15а 2 в, вынося за скобки множитель: а) 5а; б) -5а. Разложите на множители: 5х + 5у = 7ав + 14ас= 20а – 4в= 5mn – 5= ах – ау= 3x 2 – 6x= 2а – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 вариант Закончите запись: 18ав +16в= 2в(…………) 4а 2 с – 8ас= 4ас(………..) Разложите на множители многочлен -15а 2 в + 5ав 4 двумя способами: а) вынося за скобки множитель 5ав; б) вынося за скобки множитель -5ав. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12ав – 9в= х 3 -4х 2 +6х= 6а 4 – 4а 2 = 4а 4 -8а 3 +12а 2 = 24х 2 у -12ху= 9в 2 -6в 4 +3в= 4. Найдите значение выражения, разложив его на множители: ху 2 +у 3 при х=97, у=3. 3 вариант Вынесите за скобки общий множитель и выполните проверку, умножив одночлен на многочлен: а) 12ху+ 18х= б) 36ав 2 – 12а 2 в= 2. Закончите запись: 18а 3 в 2 +36ав = 18ав(…………) 18а 3 в 2 +36ав = -18ав(…………) 3. Вынесите за скобки общий множитель: 12а 2 +16а= -11х 2 у 2 +22ху= 2а 4 -6а 2 = -12а 3 в 3 +6ав= 30а 4 в- 6ав 4 = х 8 -8х 4 +х 2 = 4. Замените М многочленом или одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: 12а 2 в-8ав 2 +6ав=М*(6а-4в+3) 15х 2 у-10х3у2+25х 4 у 3 =5х 2 у*М 5. Найдите значение выражения: а) 2,76а-ав при а=1,25 и в=0,76; б) 2ху+2у 2 при х=0,27 и в=0,73. | Выполняют свою работу, после выполнения получают ключи и проверяют, ставят + или минус, оценивают свою работу по критериям на доске:(ответы на доске) 10-12 баллов- «5» 8-9 баллов - «4» 6-7 баллов -«3» Меньше 6 - нужно поработать еще. | Листы с дифференцированным заданием | |
| 7. Подведение итогов урока. | Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых | Отметить активно работающих учащихся и подвести итоги самостоятельной работы: Поднимите руки, у кого 5,4,3. | Анализируют свою работу | ||
| 8. Информация о домашнем задании | Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. | Параграф № 19 Делаем по образцам заданий в классной работе | Записывают задания в дневник | ||
| 9. Рефлексия | Учитель: Это был урок – поиск. Мы с вами искали точки соприкосновения друг с другом, учились общаться, а также раскрыли один из методов объяснения и закрепления темы. Вернемся к целям урока и проанализируем как мы их достигли А, о чем мы еще поговорили, кроме вынесения общего множителя за скобки? Возвращаемся к эмблеме урока. | Зачитывают цели и анализируют их выполнение О связи математики и русского языка, О красоте родного края, об экологии |
Продолжаем разбираться с основами алгебры. Сегодня мы поработаем с , а именно рассмотрим такое действие, как вынесение общего множителя за скобки .
Содержание урокаРаспределительный закон умножения позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3 × (4 + 5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные результаты:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). Тогда каждое слагаемое, которое в скобках, будет умножено на число 3
(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15
Пока не будем вычислять конструкцию 3 × 4 + 3 × 5 и складывать полученные результаты 12 и 15 . Оставим выражение в виде 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 . Ниже оно нам потребуется именно в таком виде, чтобы понять суть вынесения общего множителя за скобки.
Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя во внутрь скобок. В выражении 3 × (4 + 5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его во внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хоть и не принято так записывать:
3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)
Поскольку в выражении 3 × (4 + 5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, это число является общим множителем для слагаемых 4 и 5
Как говорилось ранее, умножив этот общий множитель на каждое слагаемое в скобках, мы вносим его во внутрь скобок. Но возможен и обратный процесс — общий множитель можно обратно вынести за скобки. В данном случае в выражении 3 × 4 + 3 × 5 общий множитель виден, как на ладони — это множитель 3 . Его и нужно вынести за скобки. Для этого сначала записывается сам множитель 3
и рядом в скобках записывается выражение 3 × 4 + 3 × 5 но уже без общего множителя 3 , поскольку он вынесен за скобки
3 (4 + 5)
В результате вынесения общего множителя за скобки получается выражение 3 (4 + 5) . Это выражение тождественно равно предыдущему выражению 3 × 4 + 3 × 5
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Если вычислить обе части полученного равенства, то получим тождество:
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
27 = 27
Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.
Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.
В выражении 3 × 4 + 3 × 5 , которое было рассмотрено выше, так и происходило. Каждое слагаемое было разделено на общий множитель 3 . Произведения 3 × 4 и 3 × 5 и являются слагаемыми, поскольку если их вычислить, мы получим сумму 12 + 15
Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:
Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.
Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:
Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.
Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.
Вернёмся к нашему примеру 3 (4 + 5) . Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
После того, как вычислена конструкция 3 × 4 + 3 × 5 , мы получаем новое выражение 12 + 15 . Видим, что общий множитель 3 пропал из виду. Теперь в полученном выражении 12 + 15 попробуем обратно вынести общий множитель за скобки, но чтобы вынести этот общий множитель его сначала нужно найти.
Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.
Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.
Итак, найдём НОД для чисел 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите .
НОД для 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3
Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре , а пятнадцать разделить на три будет пять :
Таким образом, при вынесении общего множителя за скобки в выражении 12 + 15 получается выражение 3(4 + 5) . Подробное решение выглядит следующим образом:
В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:
Пример 2. 15 + 20
Найдём НОД для слагаемых 15 и 20
НОД для 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем для слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:
Получили выражение 5(3 + 4). Получившееся выражение можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18+24+36
Найдём НОД для слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти , нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:
НОД для 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем для слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18+24+36
Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5
Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:
Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:
Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195+156+260
Найдём НОД для слагаемых 195, 156 и 260
НОД для 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195+156+260
Выражение в котором требуется вынести общий множитель за скобки может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем для чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72+96−120
Найдём НОД для чисел 72, 96 и 120
НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120
Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6−3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Заменим вычитание сложением:
−6 + (−3)
Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель слагаемых −6 и −3.
Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:
Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.
Способ 2.
Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением
−6 + (−3)
В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3
Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:
Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:
−2 × 3 = −6
−1 × 3 = −3
во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:
2 × (−3) = −6
1 × (−3) = −3
А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.
Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20−16−2
Заменим вычитание сложением
−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)
Наибольшим общим делителем для слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем для этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:
−10 × 2 = −20
−8 × 2 = −16
−1 × 2 = −2
Но приведенные разложения можно заменить на тождественно равные разложения. Различие будет в том, что общим множителем будет не 2 , а −2
10 × (−2) = −20
8 × (−2) = −16
1 × (−2) = −2
Поэтому для удобства за скобки можно вынести не 2 , а −2
Запишем приведенное решение покороче:
А если бы вынесли за скобки 2 , то получилось бы не совсем аккуратное выражение:
Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30−36−42
Заменим вычитание сложением:
−30 + (−36) + (−42)
Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:
5 × (−6) = −30
6 × (−6) = −36
7 × (−6) = −42
При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и привести его в порядок.
Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3)
Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки
(−15 + (−5) + (−3))
Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками
Мы вынесли минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3) и получили −(15+5+3). Оба выражения равны одному и тому же значению −23
−15 + (−5) + (−3) = −23
−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23
Поэтому между выражениями −15+(−5)+(−3) и −(15+5+3) можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение:
−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)
На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:
a(b+c) = ab + ac
Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки
ab + ac = a(b+c)
Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.
Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Мы уже говорили, что коэффициент 1 принято не записывать.
Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный, поскольку каждое слагаемое разделено на минус единицу.
Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле минус выносился за скобки
Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3 + 5 + 11
Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3 + 5 + 11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:
−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)
Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит следующим образом:
Сначала получилось выражение −1(3 + (−5) + (−11)) , но мы раскрыли в нем внутренние скобки и получили выражение −(3 − 5 − 11) . Раскрытие скобок это тема следующего урока, поэтому если данный пример вызывает у вас затруднения, можете пока пропустить его.
Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее.
Для начала рассмотрим простейший пример. Пусть имеется выражение 3 a + 2 a . Вынесем общий множитель за скобки.
В данном случае, общий множитель виден невооруженным глазом — это множитель a . Его и вынесем за скобки. Для этого записываем сам множитель a и рядом в скобках записываем выражение 3a + 2a , но уже без множителя a поскольку он вынесен за скобки:
Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:
В обеих дробях переменные a были сокращены на a . Вместо них в числителе и в знаменателе получились единицы. Единицы получились по причине того, что вместо переменной a может стоять любое число. Эта переменная располагалась и в числителе и в знаменателе. А если в числителе и в знаменателе располагаются одинаковые числа, то наибольший общий делитель для них будет само это число.
Например, если вместо переменной a
подставить число 4
, то конструкция примет следующий вид: 
. Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:
Получается то же самое, что и раньше, когда вместо четвёрок стояла переменная a .
Поэтому не следует пугаться при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель, пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.
Буквенное выражение содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). К примеру, следующие выражения являются буквенными множителями:
3a, 6b, 7ab, a, b, c
Прежде чем выносить такой множитель за скобки, нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.
Рассмотрим выражение 10a + 15a . Попробуем вынести в нём общий множитель за скобки. Сначала определимся из чего будет состоять общий множитель, то есть узнаем его коэффициент и какая переменная будет в него входить.
Коэффициентом общего множителя должен быть наибольший общий делитель коэффициентов буквенного выражения 10a + 15a . 10 и 15 , а их наибольший общий делитель это число 5 . Значит число 5 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.
Теперь определимся какая переменная будет входить в общий множитель. Для этого нужно посмотреть на выражение 10a + 15a и найти буквенный сомножитель, который входит во все слагаемые. В данном случае, это сомножитель a . Этот сомножитель входит в каждое слагаемое выражения 10a + 15a . Значит переменная a будет входить в буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки:
Теперь осталось вынести общий множитель 5a за скобки. Для этого разделим каждое слагаемое выражения 10a + 15a на 5a . Для наглядности коэффициенты и числа будем отделять знаком умножения (×)
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a + 15a
Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа, поскольку ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.
Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 2a − 2b . Здесь общим множителем будет только число 2 , а среди буквенных сомножителей общих множителей в выражении нет. Поэтому в данном случае будет вынесен только множитель 2
Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x + 9y + 12
Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД равен 3 3 . А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x + 6y + 4z + 10 + 2
Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД равен 2 . Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2 . А среди буквенных сомножителей нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2
Пример 4. Вынести общий множитель 6ab + 18ab + 3abc
Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД равен 3 . Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3 . В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b, поскольку в выражении 6ab + 18ab + 3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab
При подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе. Лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. Тогда выражение станет коротким и аккуратным:
Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.
Например, вынесем общий за скобки в выражении −3a − 2a .
Для удобства заменим вычитание сложением
−3a − 2a = −3a + (−2a )
Общим множителем в данном выражении является множитель a . Но за скобки можно вынести не только a , но и −a . Его и вынесем за скобки:
Получилось аккуратное выражение −a (3+2). Не следует забывать, что множитель −a на самом деле выглядел как −1a и после сокращения в обеих дробях переменных a , в знаменателях остались минус единицы. Поэтому в итоге и получаются положительные ответы в скобках
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x − 6y
Заменим вычитание сложением
−6x−6y = −6x+(−6y)
Вынесем за скобки −6
Запишем решение покороче:
−6x − 6y = −6(x + y)
Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a − 4b − 6c
Заменим вычитание сложением
−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)
Вынесем за скобки −2
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Определение 1
Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:
Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.
Пример 1
Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$
Решение:
Сначала вычислим проиведение коэффициентов
$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений
Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$
Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.
Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.
Мы нашли коэффициент будущего произведения.
Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Тогда итогом умножения одночленов будет:
${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.
Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:
Пример 2
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$
Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.
Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент
Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:
Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.
Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:
${4x}^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.
${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:
${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.
Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .
Замечание 1
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки
Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.
Пример 3
Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$
Решение:
Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители
$45=3\cdot 3\cdot 5$
И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:
Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени
$a^3=a^2\cdot a$
Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.
Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:
$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
Урок алгебры в 7 классе.
Тема « Вынесение общего множителя за скобки».
Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Цели урока:
Образовательная –
выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;
формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;
применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.
Развивающая –
способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.
Воспитательная -
воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.
Тип урока: комбинированный.
Основные результаты обучения:
уметь выносить общий множитель за скобки;
уметь применять данный способ при решении упражнений.
Ход урока.
1 модуль (30 мин).
1. Организационный момент.
приветствие;
подготовка обучающихся к работе.
2. Проверка домашнего задания.
Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.
3 . Актуализация опорных знаний.
Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).
Что такое НОД?
Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?
Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?
Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями
Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме
а (в + с)= ав + ас
* - знак умножения
Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).
1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5
2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)
3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)
На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.
Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:
2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!
Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.
На доске появляется запись:
Я могу написать это свойство в виде:
В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.
а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500
Остальные устно, проверить ответы:
е) 55*682 – 45*682 = 6820
ж) 7300*3 + 730*70 = 73000
з) 500*38 – 50*80 = 15000
Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)
Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.
4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.
Работа в парах.
Карточки для пар.
Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.
Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.
2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).
Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки
Наибольший общий делитель коэффициентов.
Одинаковые буквенные переменные.
Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.
Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.
Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.
5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.
№657 (1 столбик)
2 модуль (30 мин).
1. Итог первой 30-минутки.
А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?
Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?
В) Как выносится общий множитель за скобки?
2. Первичное закрепление.
На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.
1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).
2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).
3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).
4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).
5) 4 -2а = – 2 (2 – а).
3. Первичная проверка понимания.
Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне
Вынесите общий множитель за скобки:
Устно сделать проверку умножением.
4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.
Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).
Разложите на множители многочлен .
В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:
Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством 
. Два раза меняем знак!
Разложите на множители многочлен 
Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .
А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.
