Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная , в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной . Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:
Определение . Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств , в котором:
Название переменной;
Обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ;
Синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;
Семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т.е. нечеткое подмножество универсального множества .
Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм , который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм , который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом .
Пример
.
Рассмотрим лингвистическую переменную
с именем "ТЕМПЕРАТУРА В
КОМНАТЕ".
Тогда оставшуюся четверку 
, можно определить так:
Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где
α — наименование переменной;
X — универсальное множество (область определения α);
А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.
Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где
β — наименование лингвистической переменной;
Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;
G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.
Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:
1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;
2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).
Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.
Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где
β — толщина изделия;
Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};
X — ;
G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;
М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.
Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.
Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.
Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3
Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2
Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.
Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется
μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).
Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как
Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.
Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если
S A = { x /μ A (x ) > 0 }.
Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если
μ А (0) = sup (μ A (x )).
Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.
Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.
Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать
Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:
а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );
б) L(0) = R(0).
Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.
Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций
Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть
Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:
где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.
Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).
Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.
Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа
Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.
Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.
Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.
Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных
Напомним, что лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально, лингвистическая переменная определяется следующим образом.
Определение 44. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где - ; имя переменной; - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве ; - ; синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами .
Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:
Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности
Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно", "комфортно", "более-менее комфортно", "жарко" и "очень жарко" лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рис. 13.
Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"
Нечеткая истинность
Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная "истинность". В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность "размытая". Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному. Интервал используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной "истинность". Обычная, четкая истинность может быть представлена нечеткими множествами-синглтонами. В этом случае четкому понятию истинно будет соответствовать функция принадлежности 
, а четкому понятию ложно - ; 
, .
Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":
;
где - ; параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал , а для нечеткого множества ложно" - ; .
Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 14. Они построены при значении параметра . Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.
Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде
Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":
Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так.
Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.
(Конспект)
В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.
Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .
Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.
µ Ã : U
µ Ã – называется функцией принадлежности.
Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).
По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:
Объединение:
,
где
Перечисление:
,
Дополнение:
Алгебраическое произведение:
,
где
n-арным нечетким отношением
определенным на множествах называется
нечеткое подмножество декартовых
произведений
Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.
Композиция нечетких отношений
Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:
Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:
Степени
принадлежности конкретных выражений
Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.
Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.
Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.
1)
2)
Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.
4) операция импликации
Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:
1)
2)
3)
5) Эквивалентность
n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .
Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:
«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат
«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.
Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7
При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.
Пусть - нечеткое отображение
Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество
композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.
Пусть задано нечеткое высказывание , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).
В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens
Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:
Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y
Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:
Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.
1)
Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()
Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил
Если S 1 , то R 1 , иначе
Если S n , то R n , иначе
Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга
В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации.
Когда нечеткий вывод используется в контуре управления реальным объектом, на объект должно выдаваться четкое управляющее воздействие. Поэтому необходимо преобразовать нечеткое множество, формируемое на основе композиционного правила вывода, в четкое значение. Эта процедура называется процедурой дефаззификации. Чаще используется 2 способа дефаззификации:
1) Середина «плато»
2) Центр тяжести, определяется точка которая делит площадь нечеткого множества пополам.
Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где
α — наименование переменной;
X — универсальное множество (область определения α);
А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.
Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где
β — наименование лингвистической переменной;
Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;
G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.
Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:
1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;
2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).
Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.
Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где
β — толщина изделия;
Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};
X — ;
G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;
М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.
Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.
Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.
Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3
Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2
Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.
Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется
μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).
Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как
Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.
Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если
S A = { x /μ A (x ) > 0 }.
Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если
μ А (0) = sup (μ A (x )).
Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.
Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.
Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать
Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:
а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );
б) L(0) = R(0).
Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.
Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций
Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть
Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:
где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.
Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).
Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.
Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа
Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.
Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.
Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.
Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных
