Сайт о телевидении

Пусть - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V . Ненулевой вектор \boldsymbol{s} линейного пространства V , удовлетворяющий условию

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

называется собственным вектором линейного преобразования \mathcal{A} . Число \lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования \mathcal{A} . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению \lambda . Если пространство V вещественное (комплексное), то собственное значение \lambda - действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования \mathcal{A} , если его образ \mathcal{A} (\boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу \boldsymbol{s} . Другими словами, если \boldsymbol{s} - собственный вектор, то преобразование \mathcal{A} имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор \boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению \lambda . Любой вектор \boldsymbol{v} из \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) имеет вид \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{s} , где \alpha - любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Следовательно, \mathcal{A}(\boldsymbol{v})\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) для любого вектора \boldsymbol{v}\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) , т.е. подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) инвариантно относительно преобразования \mathcal{A} . Размерность подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}) равна единице, так как \boldsymbol{s}\ne \boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка называется ненулевой числовой столбец s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_{n}\end{pmatrix}^T , удовлетворяющий условию (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Число \lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы A . При этом считалось, что собственное значение \lambda и числа s_i~(i=1,\ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть \mathcal{A}\colon V\to V - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V с базисом . Тогда собственное значение \lambda и координатный столбец {s} собственного вектора \boldsymbol{s} преобразования \mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы A этого преобразования, определенной относительно базиса \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n , т.е.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s}\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, где \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n,~ s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}^T.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец s=\begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы A , причем числа s_1,\ldots,s_n,\lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство V , то вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+ \ldots+s_n \boldsymbol{e}_n и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V с матрицей A в базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и \lambda\cdot \boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,\ldots,s_n, \lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения \Delta_A(\lambda)=0 , где \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) - характеристический многочлен матрицы A . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы A этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства V .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})} и \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})} линейного преобразования \mathcal{A} в базисах (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n) и (\boldsymbol{f})=(\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n) являются, согласно (9.4), подобными: \nathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})}=S^{-1}\mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})}S , где S - матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к базису (\boldsymbol{f}) . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования \mathcal{A} можно использовать обозначение \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda) , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V линейного пространства V , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу A линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного вещественного линейного пространства V в произвольном базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n . Элементы этой матрицы - действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) - это многочлен степени n с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если \lambda=\lambda_1 - действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T матрицы A также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно \mathcal{A} подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если \lambda=\alpha\pm\beta i - пара комплексных сопряженных корней (\beta\ne0) , то собственный вектор s\ne o матрицы A также с комплексными элементами: s=\begin{pmatrix}x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end{pmatrix}^T . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,\,y - действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

\begin{cases}Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end{cases}

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как \beta\ne0 . Тогда s=o , что противоречит условию s\ne o . Предположим, что x\ne o и столбцы x и y пропорциональны, т.е. существует такое действительное число \gamma , что y=\gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем \begin{cases}Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end{cases} Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-\gamma) , приходим к равенству [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o . Так как x\ne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0 . Поскольку \beta\ne0 , то \gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как \gamma - действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы x и y линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где \boldsymbol{x}= x_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+x_n \boldsymbol{e}_n,~ \boldsymbol{y}= y_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+ y_n \boldsymbol{y}_n . Это подпространство двумерное, так как векторы \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что \begin{cases}\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\alpha \boldsymbol{x}-\beta \boldsymbol{y},\\ \mathcal{A}(\boldsymbol{y})=\beta \boldsymbol{x}+\alpha \boldsymbol{y},\end{cases} т.е. образ любого вектора, принадлежащего \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) , также принадлежит \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) . Следовательно, \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) - двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования \mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V вещественного линейного пространства V следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n линейного пространства V и найти в этом базисе матрицу A преобразования \mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) .

3. Найти все различные действительные корни \lambda_1,\ldots,\lambda_k характеристического уравнения \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0 . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня \lambda=\lambda_1 найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} решений однородной системы уравнений (A-\lambda_1E)x=o , где r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E) . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования \mathcal{A} , отвечающие собственному значению \lambda_1:

\begin{matrix} \boldsymbol{s}_1=\varphi_{1\,1}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,1}\boldsymbol{e}_n,\\ \boldsymbol{s}_2=\varphi_{1\,2}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,2}\boldsymbol{e}_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol{s}_{n-r}=\varphi_{1\,n-r} \boldsymbol{e}_1+ \ldots+\varphi_{n\,n-r}\boldsymbol{e}_n. \end{matrix}

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

\boldsymbol{s}= C_1 \boldsymbol{s}_1+C_2 \boldsymbol{s}_2+\ldots+ C_{n-r}\boldsymbol{s}_{n-r},

где C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} - произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k линейного преобразования \mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования \mathcal{O}\colon V\to V любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{O}(\boldsymbol{s})=0\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

2. Для тождественного преобразования \mathcal{E}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{E} (\boldsymbol{s})=1\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

3. Для центральной симметрии \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}} (\boldsymbol{s})=(-1)\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

4. Для гомотетии \mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим собственному значению \lambda (коэффициенту гомотетии), так как \mathcal{H}_{\lambda} (\boldsymbol{\boldsymbol{s}})= \lambda\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

5. Для поворота \mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2 плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный \pi , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}) любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{D}(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: \mathcal{D}(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор \Pi_{L_1}\colon V\to V проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2, \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+ \boldsymbol{v}_2)=\boldsymbol{v}_1 для \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1)=1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=0 , так как \Pi_{L_2}(\boldsymbol{v}_2)=0\cdot \boldsymbol{v}_2 \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1= \lambda(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2) возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2 \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2 , для \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1\in L_1,~ \boldsymbol{v}_2\in L_2 . Для этого оператора любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_1\in L_1 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{Z}_{L_1} (\boldsymbol{v}_1)= 1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_2\in L_2 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=-1 , так как \mathcal{Z}_{L_2} (\boldsymbol{v}_2)= (-1)\cdot \boldsymbol{v}_2 . Другие векторы не являются собственными, так как равенство \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2= \lambda(\boldsymbol{}_1+ \boldsymbol{v}_2) возможно либо при \boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{o} , либо при \boldsymbol{v}_2= \boldsymbol{o} .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки O , рассмотрим поворот на угол \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z} , вокруг оси \ell , заданной радиус-вектором \vec{\ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору \vec{\ell} , является собственным, отвечающим собственному значению \lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon T_1\to T_1 , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты \omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) ;

б) с комплексными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) .

Решение. 1. Выберем стандартный базис e_1(t)=\sin{t},~ e_2(t)=\cos{t} и составим в этом базисе матрицу D оператора \mathcal{D}:

D=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\!.

2. Составим характеристический многочлен преобразования \mathcal{D}\colon\, \Delta_{\mathcal{D}}(\lambda)= \begin{vmatrix}-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2+1. .

3. Характеристическое уравнение \lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование \mathcal{D} вещественного пространства T_1(\mathbb{R}) (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование \mathcal{D} комплексного пространства T_1(\mathbb{C}) (случай (б)) имеет комплексные собственные значения \lambda_1,\,\lambda_2 .

4(1). Для корня \lambda_1=i находим фундаментальную систему \varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 0&0\end{pmatrix}\!.

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. \varphi=\begin{pmatrix}i&1 \end{pmatrix}^T .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня \lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) \varphi_2=\begin{pmatrix}-i&1 \end{pmatrix}^T решений однородной системы уравнений (D-\lambda_2E)x=o:

\begin{pmatrix}i&-1\\ 1&i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_2=-i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований) В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S . Для этого отображения будем использовать обозначение y=A (x) или y=A x .

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x 1 и x 2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A (x 1 +x 2)=A x 1 +A x 2 .
2. A (λx )=λ A x .

Если пространство S совпадает с пространством R , то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R .

Пусть заданы два векторных пространства n- мерный R и m- мерный S , и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A , отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K , что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x .

Пусть x − произвольный элемент в R . Тогда

где a ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

где x ∈R означает, что x принадлежит пространстве R .

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B . Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e j , тогда:

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R , S и T . Пусть линейный оператор B отображает R в S , а линейный оператор A отображает S в T .

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C , для которого выполняется следующее равенство при любом x из R :

Cx =A (Bx ), x ∈ R .

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB . Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T . Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A , B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A , B , C

Учитывая произвольность х, получим

Таким образом оператор C отображает пространство R в S . Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x , y , z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х , получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ .

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O . Действие нулевого оператора можно записать так:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R Ax =0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A .

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R , для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R .

Образ линейного оператора обозначается символом im A .

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A , т.е.: rang A =dim(im A ).

Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе - \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Фиксируем для определенности базис \(\{e\}\) в векторном пространстве \(\mathit{L}\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2,...,n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Определение. Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).

Возникает естественная задача: найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.

Уравнение для собственных значений

Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) - единичная матрица, а \(\alpha\) - матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных - координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения - для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Определение. Уравнение (60) называется характеристическим уравнением для линейного оператора \(A\).

Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.

Справка об алгебраических уравнениях.

Теорема. Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) - простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.

Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2,...,c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_{k=1}^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_{k=1}^nc_ku_k \right)=\sum_{k=1}^nc_kAu_k=\sum_{k=1}^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.

Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы - это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.

Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n → R n .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Пусть дан вектор , где x 1 , x 2 , …, x n - координаты вектора относительно базиса и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.
Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)
где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ 1 , λ 2 , …, λ n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12. Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то - собственный вектор

.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n → R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число, что АХ =Х.

При этом число называютсобственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - Е)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - Е| = = 0

Это уравнение с неизвестным называютхарактеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - Е| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где  i – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.