Сайт о телевидении

Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество , которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной , можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества . В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное "КРАСИВЫЙ" отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества , которое является ограничением, обусловленным нечеткой переменной "КРАСИВЫЙ". С этой точки зрения термины "ОЧЕНЬ КРАСИВЫЙ", "НЕКРАСИВЫЙ", "ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО КРАСИВЫЙ", "ВПОЛНЕ КРАСИВЫЙ" и т.п. - названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов "ОЧЕНЬ, НЕ, ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО, ВПОЛНЕ" и т.п. на нечеткое множество "КРАСИВЫЙ". В сущности, эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством "КРАСИВЫЙ" играют роль значений лингвистической переменной "ВНЕШНОСТЬ".

Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная , в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной . Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .

Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:

1. Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной;
2. Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.

Определение . Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств , в котором:

Название переменной;

Обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ;

Синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;

Семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т.е. нечеткое подмножество универсального множества .

Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм , который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм , который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом .

Пример . Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "ТЕМПЕРАТУРА В КОМНАТЕ". Тогда оставшуюся четверку , можно определить так:

Понятие нечеткой и лингвистической переменных использу-ется при описании объектов и явлений с помощью нечетких мно-жеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, А), где

α — наименование переменной;

X — универсальное множество (область определения α);

А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x ) )на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (β , Т, X , G, М), где

β — наименование лингвистической переменной;

Т — множество ее значений (терм-множество), представляю-щих собой наименования нечетких переменных, областью опре-деления каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической пе-ременной;

G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать эле-ментами терм-множества T, в частности, генерировать новые тер-мы (значения). Множество T∪G(T), где G(T) — множество сгене-рированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М — семантическая процедура, позволяющая превратить каж-дое новое значение лингвистической переменной, образуемое про-цедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответ-ствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

2) пользуются одним и тем же символом для обозначения не-четкого множества и его названия, например терм «Молодой», явля-ющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-ная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной (β , Т, X , G, М), где

β — толщина изделия;

Т — {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

X — ;

G — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;

М — процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 = «Малая толщина», А 2 = «Средняя толщина», A 3 = «Большая толщи-на», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с пра-вилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А ⋂В, A ∪В, ̅ A , CONА = A 2 , DILА = А 0,5 и т. п.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значения-ми лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, завися-щие от области определения X. В данном случае значения лингвистиче-ской переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, при-веденными на рис. 1.5 и 1.6.

Рис. 1.5. Функции принадлежности нечетких множеств: «Малая толщина» = А 1 , «Средняя толщина» = А 2 , «Большая толщина» = А 3

Рис. 1.6. Функция принадлежности нечеткого множества «Малая или средняя толщина» = A 1 ∪ А 2

Нечеткие числа

Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на чи-словой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множе-ство А на множестве действительных чисел ℝс функцией при-надлежности μ А (х ) ϵ , где х — действительное число, т.е. х ϵ ℝ.

Нечеткое число А нормально, если тах μ А (x ) = 1; выпуклое, если для любых х ≤ у ≤ z выполняется

μ А (х) ≥ μ А (у ) ˄ μ A (z ).

Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как

Аα = {x /μ α (x ) ≥ α }.

Подмножество S A ⊂ ℝ называется носителем нечеткого числа А, если

S A = { x /μ A (x ) > 0 }.

Нечеткое число А унимодально, если условие μ А (х ) = 1 спра-ведливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

μ А (0) = sup (μ A (x )).

Нечеткое число А положительно, если ∀x ϵ S A , х > 0 и отрицательно, если ∀х ϵ S A , х < 0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные би-нарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие опера-ции для четких чисел с использованием принципа обобщения сле-дующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соот-ветствующая произвольной алгебраической операции * над обыч-ными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначе-ния вместо вместо ) можно записать

Нечеткие числа (L-R)-Tипа

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типa задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных дей-ствительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x ) = L(x ), R(-x ) = R(x );

б) L(0) = R(0).

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Возможный вид (L-R)-функций

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

Пусть L(у )и R(у )— функции (L-R)-типа (конкретные). Уни-модальное нечеткое число А с модой а (т. е. μ А (а ) = 1) с помощью L(у )и R(у ) задается следующим образом:

где а — мода; α > 0, β > 0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у )и R(у ) нечеткое число (уни-модальное) задается тройкой А = (а , α, β ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четвер-кой параметров А = (a 1 , а 2 , α, β ), где а 1 иа 2 — границы толе-рантности, т.е. в промежутке [a 1 , а 2 ] значение функции принад-лежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), а также параметры а, β нечетких чисел (а , α, β ) и (a 1 , а 2 , α, β ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизи-тельно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α" и β" результата не выходили за рамки ограничений на эти па-раметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание . Решение задач математического моделирова-ния сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удоб-ства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стан-дартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в боль-шинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нор-мальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимо-дальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических пе-ременных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Возможное (L - R )-представление некоторых лингвистических переменных

Из естественного или искусственного языка . Например, лингвистическая переменная «скорость» может иметь значения «высокая», «средняя», «очень низкая» и т. д. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством .

Математическое определение

Лингвистической переменной называется пятерка $\backslash \{\; x,\; T(x),\; X,\; G,\; M\; \backslash \}$, где $x$ - имя переменной; $T(x)$ - некоторое множество значений лингвистической переменной $x$, каждое из которых является нечеткой переменной на множестве $X$; $G$ есть синтаксическое правило для образования имен новых значений $x$; $M$ есть семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое имя, образованное процедурой $G$, в нечеткую переменную (задать вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, понятием.

$T(x)$ также называют базовым терм-множеством, поскольку оно задает минимальное количество значений, на основании которых при помощи правил $G$ и $M$ можно сформировать остальные допустимые значения лингвистической переменной. Множество $T(x)$ и новые образованные при помощи $G$ и $M$ значения лингвистической переменной образуют расширенное терм-множество.

Пример: нечёткий возраст

Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

• $x$: «возраст»;
• $X$: множество целых чисел из интервала ;
• $T(x)$: значения «молодой», «зрелый», «старый». множество $T(x)$ - множество нечетких переменных, для каждого значения: «молодой», «зрелый», «старый», необходимо задать функцию принадлежности , которая задает информацию о том, людей какого возраста считать молодыми, зрелыми, старыми;
• $G$: «очень», «не очень». Такие добавки позволяют образовывать новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр.
• $M$: математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения образованного при помощи правила $G$.

Напишите отзыв о статье "Лингвистическая переменная"

Отрывок, характеризующий Лингвистическая переменная

Граф опять пошел за перегородку и лег. Графиня подошла к Наташе, дотронулась перевернутой рукой до ее головы, как это она делала, когда дочь ее бывала больна, потом дотронулась до ее лба губами, как бы для того, чтобы узнать, есть ли жар, и поцеловала ее.
– Ты озябла. Ты вся дрожишь. Ты бы ложилась, – сказала она.
– Ложиться? Да, хорошо, я лягу. Я сейчас лягу, – сказала Наташа.
С тех пор как Наташе в нынешнее утро сказали о том, что князь Андрей тяжело ранен и едет с ними, она только в первую минуту много спрашивала о том, куда? как? опасно ли он ранен? и можно ли ей видеть его? Но после того как ей сказали, что видеть его ей нельзя, что он ранен тяжело, но что жизнь его не в опасности, она, очевидно, не поверив тому, что ей говорили, но убедившись, что сколько бы она ни говорила, ей будут отвечать одно и то же, перестала спрашивать и говорить. Всю дорогу с большими глазами, которые так знала и которых выражения так боялась графиня, Наташа сидела неподвижно в углу кареты и так же сидела теперь на лавке, на которую села. Что то она задумывала, что то она решала или уже решила в своем уме теперь, – это знала графиня, но что это такое было, она не знала, и это то страшило и мучило ее.
– Наташа, разденься, голубушка, ложись на мою постель. (Только графине одной была постелена постель на кровати; m me Schoss и обе барышни должны были спать на полу на сене.)
– Нет, мама, я лягу тут, на полу, – сердито сказала Наташа, подошла к окну и отворила его. Стон адъютанта из открытого окна послышался явственнее. Она высунула голову в сырой воздух ночи, и графиня видела, как тонкие плечи ее тряслись от рыданий и бились о раму. Наташа знала, что стонал не князь Андрей. Она знала, что князь Андрей лежал в той же связи, где они были, в другой избе через сени; но этот страшный неумолкавший стон заставил зарыдать ее. Графиня переглянулась с Соней.
– Ложись, голубушка, ложись, мой дружок, – сказала графиня, слегка дотрогиваясь рукой до плеча Наташи. – Ну, ложись же.
– Ах, да… Я сейчас, сейчас лягу, – сказала Наташа, поспешно раздеваясь и обрывая завязки юбок. Скинув платье и надев кофту, она, подвернув ноги, села на приготовленную на полу постель и, перекинув через плечо наперед свою недлинную тонкую косу, стала переплетать ее. Тонкие длинные привычные пальцы быстро, ловко разбирали, плели, завязывали косу. Голова Наташи привычным жестом поворачивалась то в одну, то в другую сторону, но глаза, лихорадочно открытые, неподвижно смотрели прямо. Когда ночной костюм был окончен, Наташа тихо опустилась на простыню, постланную на сено с края от двери.

Напомним, что лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально, лингвистическая переменная определяется следующим образом.

Определение 44. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где - ; имя переменной; - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве ; - ; синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами .

Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:

Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности

Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно", "комфортно", "более-менее комфортно", "жарко" и "очень жарко" лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рис. 13.

Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"

Нечеткая истинность

Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная "истинность". В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность "размытая". Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному. Интервал используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной "истинность". Обычная, четкая истинность может быть представлена нечеткими множествами-синглтонами. В этом случае четкому понятию истинно будет соответствовать функция принадлежности , а четкому понятию ложно - ; , .

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

;

где - ; параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал , а для нечеткого множества ложно" - ; .

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 14. Они построены при значении параметра . Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.

Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так.

Лингвистические переменные (ЛП) являются способом описания сложных систем, параметры которых рассматриваются не с количественных позиций, а как качественные. При этом лингвистические переменные позволяют поставить в соответствие качественным характеристикам некоторую количественную интерпретацию с заданной долей уверенности, что обеспечивает возможность обработки качественных данных на ЭВМ. Другой сферой применения лингвистических переменных является нечеткий логический вывод, отличие которого от обычного заключается в том, что истинность логических высказываний определяется не двумя значениями 0 и 1, а множеством значений в интервале .

В основе понятия лингвистической переменной лежит понятие нечетной переменной.

Нечеткой переменной называется совокупность трех элементов:

< X , U , µ A (u ) >,

где Х – название нечеткой переменной; U – универсальное множество; µ A (u ) – нечеткое подмножество А универсального множества U . Другими словами, нечеткая переменная представляет собой именованное нечеткое множество.

Лингвистической переменной называется совокупность пяти элементов:

< L , T (X ), U , G , M >,

где L – название лингвистической переменной;

Т (X ) –множество базовых термов лингвистической переменной, состоящее из множества названий значений лингвистических переменных {T 1 , T 2 , …, T n }, каждому из которых соответствует нечеткая переменная Х универсального множества U;

U – универсальное множество, на котором определена лингвистическая переменная;

G – синтаксическое правило, порождающее названия X значений переменной;

М – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл М (X ), т.е. нечеткое подмножество универсального множества U .

К термам лингвистической переменной предъявляется требование упорядоченности: T 1 < T 2 < … < T n .

Функции принадлежности нечетких множеств, составляющих количественный смысл базовых термов лингвистической переменной, должны удовлетворять следующим условиям:

2. : ;

4. : .

Здесь n – количество базовых термов лингвистической переменной; u min , u max – границы универсального множества U , на котором определяется лингвистическая переменная. Если U R (R – множество действительных чисел, то U = [u min , u max ].

Синтаксическое правило G представляет собой совокупность четырех элементов: G = < V T , V N , T , P >,

где V T – совокупность терминальных символов или слов; V N – совокупность нетерминальных символов или фраз; Т – совокупность базовых термов; Р – совокупность правил подстановки, определяющих эквивалентность фраз.

Семантическое правило М ставит в соответствие каждой фразе новое не-

четкое множество, определенное на основе функций принадлежности базовых термов и совокупности операций с нечеткими множествами.

В качестве примера рассмотрим числовую лингвистическую переменную «рост человека». Пусть значения переменной задаются с помощью трех базовых термов: «низкий», «средний», «высокий». Термы упорядочены. Универсальным числовым множеством U в данном случае является интервал U = .

Функции принадлежности термов приведены на рис. 7.6 и удовлетворяют рассмотренным выше требованиям.

Рис. 7.6 Лингвистическая переменная «Рост человека»

В качестве синтаксического правила определим, что в множество нетерминальных символов включены слова «и», «или», «более или менее», «не», «очень», которые могут сочетаться с базовыми термами «низкий», «средний», «высокий», причем должны выполняться следующие правила:

Символы «и» и «или» могут соединять только две фразы или базовых терма, а остальные нетерминальные символы являются унарными, т.е. могут предварять фразу или базовый терм; например, «не высокий», «очень низкий», «низкий или средний»;

Одновременное отрицание двух базовых термов, например, «не низкий и не высокий», эквивалентно оставшемуся базовому терму, т.е. «средний».

Применяя эти правила, можно построить множество фраз и правил подстановки. В случае, если синтаксическое правило нельзя задать алгоритмически, то просто перечисляются все возможные фразы.

В качестве семантического правила определим соответствие между нетерминальными символами и операциями над нечеткими множествами:

«не» – дополнение;

«и» - пересечение;

«или» - объединение;

«очень» - концентрирование;

«более или менее» - расширение.

Используя рассмотренную лингвистическую переменную, можно оцени-

вать рост людей, не прибегая к точным измерениям.

Таким образом, с помощью лингвистических переменных можно описывать объекты, точное измерение характеристик которых либо крайне трудоемко, либо вообще невозможно.

Формирование лингвистической переменной, как правило, реализуется на основе опроса экспертов – специалистов в той области, для которой строится ЛП. При этом особое внимание уделяется формированию функций принадлежности нечетких множеств, являющихся базовыми термами лингвистической переменной, так как определение синтаксического и семантического правил для большинства лингвистических переменных стандартно и на практике сводится к перечислению всех возможных фраз и интерпретации нетерминальных символов, как показано выше.

Процесс формирования лингвистической переменной включает следующие этапы:

1. Определение множества термов ЛП и его упорядочение.

2. Построение числовой области определения ЛП.

3. Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.

4. Построение функций принадлежности для каждого терма ЛП.

Этап 1 предполагает задание экспертом количества термов ЛП и названий соответствующих им нечетких переменных. Количество термов выбирается из диапазона n = 7±2.

На этапе 2 описывается универсальное множество U , которое может быть числовым и нечисловым. Вид универсального множества зависит от описываемых объектов и определяет способ формирования функций принадлежности термов ЛП.

Этап 3 является ключевым при формировании ЛП. Существует два вида

опроса экспертов: прямой и косвенный. Каждый из этих способов может быть индивидуальным или групповым. Наиболее простым с точки зрения организации и

программной реализации является индивидуальный способ опроса экспертов.

При прямом опросе экспертов непосредственно указывают все параметры функций принадлежности. Недостатком здесь является проявление субъективизма в суждениях, а также необходимость знания экспертом основ нечеткой логики. При косвенном опросе функции принадлежности формируются на основе ответа эксперта на «наводящие» вопросы. При этом повышается объективность оценки и не требуется знания нечеткой логики, однако усиливается риск несогласованности суждений эксперта.

При групповых методах опроса результат формируется на основе объединения мнений нескольких экспертов. На практике наиболее часто используется индивидуальный косвенный опрос.

Лекция. Нечеткие вычисления

Понятие нечеткого числа

Одной из областей применение нечеткой логики является выполнение арифметических операций с нечеткими множествами. Для снижения трудоемкости таких операций используется специальный тип нечетких множеств – нечеткие числа.

Нечетким числом (НЧ) называется нечеткая переменная, имеющая следующие свойства: ; .

Другими словами, нечеткое число– именованное нечеткое множество, для которого универсальное множество U представляет собой интервал действительной оси R .

В реальных задачах используются кусочно-линейные нечеткие числа.Для упрощения арифметических операций кусочно-линейные функции принадлежности дополнительно аппроксимируют, чтобы получить специальный вид нечетких чисел – параметрические нечеткие числа или нечеткие числа

(L –R )–типа, которые характеризуются компактностью представления и просто-

той реализации арифметических операций.

Нечеткое число А называется нечетким числом (L –R )–типа , если его функция принадлежности имеет следующий вид (рис. 7.8):

0,

1, ,

где – параметры нечеткого числа; L (x ), R (x ) – некоторые функции.

Нечеткое параметрическое число обозначается (a , b , c , d ) LR .

Таким образом, нечеткое число (L –R )–типа описывается шестью параметрами: четырьмя числами, обозначающими его границы, и двумя функциями, определяющими форму его функции принадлежности.

Рис.7.8 Параметрические нечеткие числа

Нечеткое числоназывается унимодальным , если оно имеет только одну точку, в которой функция принадлежности равна единице, т.е. его параметры b и c равны, в противном случае нечеткое число называется толерантным (см. рис. 7.8). Унимодальные нечеткие числа обозначаются пятью параметрами (a , b , d ) LR .

В качестве LR –функций наиболее часто используют линейные зависимости, задаваемые следующими соотношениями:

LR – функции также могут задаваться квадратичными, экспоненциальными и другими зависимостями.

В случае использования линейных функций унимодальные и толерантные нечеткие числа называют соответственно треугольными и трапециевидными и обозначают (a , b , d ) и (a , b , c , d ).

Для нечетких чисел особым образом определяется понятие знака и нулевого значения.

Нечеткое число А называется положительным , если его основание лежит в положительной действительной полуоси или

Нечеткое число А называется отрицательным , если его основание лежит в отрицательной действительной полуоси или

Для параметрических нечетких чисел знак определяется значениями параметров: положительное нечеткое число, если a > 0; отрицательное, если d < 0; нечеткий ноль, если .