15 октября 2013 в 13:31

Об одной особенности теоремы Котельникова

• Математика

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти - это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова - это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников "О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи." Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

Где k - целое число; ω = 2πf1; Dk - постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

Т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

И поэтому F(t) может быть представлена так:

Функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

Могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Таким образом

Введем следующие обозначения

Подставляя получаем:

Преобразуем

Еще преобразуем

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

То есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус - нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) - дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Заключение

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.

Ниже будет сформулирована и доказана теорема Котельникова (теорема отсчётов) - основополагающая теорема для систем цифровой обработки сигналов, телекоммуникаций, а также теории связи. Теорема была сформулирована и доказана советским академиком В. А. Котельниковым в 30-х годах 20 века. Суть теоремы состоит в том, что вместо передачи непрерывного аналогового сигнала можно передавать соответствующий ему дискретный сигнал.

Формулировка теоремы: непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна по крайней мере в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

С другой стороны, непрерывный сигнал может иметь бесконечный спектр частот, но так как гармоники этого сигнала могут монотонно уменьшаться по амплитуде при увеличении номера гармоники, то с некоторой степенью точности можно считать спектр такого сигнала ограниченным.

Точность воспроизведения непрерывного сигнала во многом определяется характеристиками фильтра нижних частот и не оказывает влияния на корректность теоремы Котельникова в данном случае. Также, точность воспроизведения непрерывного сигнала определяется количеством уровней квантования в процессе получения отсчётов. Однако, если выбрать количество уровней квантования в соответствии с динамическим диапазоном и чувствительностью конкретной системы, то точность воспроизведения непрерывного сигнала не будет ухудшаться процессом получения отсчётов. Это утверждение, в частности, может быть до определённой степени справедливым, когда уровень шумов, присутствующий в исходном сигнале больше шага квантования. В этом случае не имеет смысла увеличивать количество уровней квантования, так как к повышению точности получения отсчётов это не приведёт.

Теорема Котельникова определяет также, что в непрерывном сигнале и соответствующем ему дискретном сигнале, полученном по приведённым выше правилам, содержится одинаковая информация, поэтому представление одного из этих двух сигналов другим является взаимно-однозначным.

Доказательство теоремы начнём с рассмотрения абстрактного вспомогательного непрерывного сигнала, представленного бесконечной последовательностью импульсов с некоторым периодом повторения (рис. 1). Исследуемый непрерывный сигнал и его спектр показан на рис. 2. Цель введения вспомогательного сигнала: показать, что и в нём после некоторых преобразований и в дискретном сигнале, полученном в соответствии с теоремой Котельникова, содержится одинаковая информация.

Далее, для восстановления исходного непрерывного сигнала из сигнала, полученного перемножением исходного и вспомогательного сигналов требуется пропустить полученный сигнал через фильтр нижних частот, который подавит все частоты, выше fm. Однако такой подход требует пояснения для дискретного сигнала. Дело в том, что на выходе ЦАП формируется не последовательность импульсов бесконечно малой ширины, а ступенчатый сигнал. Это объясняется самим принципом работы ЦАП. Если исследовать спектр полученного на выходе ЦАП сигнала, то окажется, что он довольно сильно искажён по сравнению со спектром полученного сигнала в доказательстве теоремы. Это можно объяснить тем, что сигнал на выходе ЦАП представляет собой свёртку полученного в доказательстве теоремы сигнала и сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью, соответствующей длительности периода дискретизации. Опять же, по теории операционного исчисления, изображение свёртки оригиналов двух функций равно произведению их изображений.

Получаемый на выходе ЦАП сигнал и его спектр показаны на рис. 5. Пунктиром отмечен спектр прямоугольного импульса. Дублированные части спектра показаны не перемноженными на функцию вида sin(x)/x. Спектр любого прямоугольного импульса задаётся функцией, подобной sin(x)/x. Для восстановления непрерывного исходного сигнала в таком случае нужно рассчитать импульсную характеристику фильтра нижних частот таким образом, чтобы после применения этого фильтра в спектре полученного сигнала производилась ещё и операция деления на соответствующим образом подобранную функцию вида sin(x)/x.

Так как в практических случаях не удаётся достичь точной рассчитанной импульсной характеристики фильтра, может возникнуть скат спектра импульсной характеристики в области частоты среза фильтра. Ширина ската зависит от типа используемого аналогового фильтра. Например, при использовании фильтра Бесселя, ширина ската довольно значительна, а при использовании фильтра Чебышева ширина ската гораздо меньше, но фильтр Чебышева имеет ряд других недостатков, которые обсуждаются в главе «Применение цифровых фильтров». Из-за ската в области частоты среза, некоторая часть спектра в окрестностях частоты среза является неиспользуемой и тогда используют фильтр с частотой среза, превышающей fm на ширину ската.

В заключение следует отметить, что рассмотренный при доказательстве теоремы Котельникова вспомогательный сигнал является чисто абстрактным и в природе существовать не может, так как невозможно получить бесконечно малую ширину импульса. Однако, можно сделать некоторое упрощение, основанное на следующем факте. Любая линейная система имеет конечное быстродействие, т. е. работает в конечном временном интервале. Если это электрическая схема, то быстродействие, как правило, определяется величинами ёмкостей, входящих в состав схемы. Если на вход такой системы подать импульс, имеющий единичную амплитуду и длина которого будет намного меньше нижней границы временного интервала работы схемы, то этот импульс будет воспринят так же как и идеальный (т. е. имеющий бесконечно малую ширину и единичную площадь). Таким образом, в практических случаях существует приближение вспомогательного сигнала, использованного при доказательстве теоремы.

Цифрова?я обрабо?тка сигна?лов (ЦОС, DSP — англ. digital signal processing) — преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала (то есть ), то полученный дискретный сигнал эквивалентен сигналу по методу наименьших квадратов (МНК) (см.: Теорема Котельникова).

При помощи математических алгоритмов преобразуется в некоторый другой сигнал , имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью , фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще — до поступления следующих n отсчётов, где n — задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства — цифровые сигнальные процессоры.

Всё это полностью применимо не только к непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны.

Различают методы обработки сигналов во временной (англ. time domain ) и в частотной (англ. frequency domain ) области. Эквивалентность частотно-временных преобразований однозначно определяется через преобразование Фурье.

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. Для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения (чаще всего под именем Signal Processing) систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

В последние годы при обработке сигналов и изображений широко используется новый математический базис представления сигналов с помощью «коротких волночек» — вейвлетов. С его помощью могут обрабатываться нестационарные сигналы, сигналы с разрывами и иными особенностями и сигналы в виде пачек.

Цифровая обработка сигналов - некоторые основные понятия.

Физические величины, если только не опускаться на квантовый уровень, изменяются непрерывно. Однако цифровая обработка сигналов работает исключительно с дискретными величинами, причем дискретность проявляется двояко - при квантовании по времени и при квантовании по амплитуде сигнала. Это видимое усложнение вполне оправдано тем, что для обработки мы может использовать цифровые вычислительные машины, полностью избавившись от проблемы нестабильности параметров, столь болезненной при обработке аналоговой. Не меньшим преимуществом является то, что стоимость цифровой обработки низка и продолжает падать, даже при очень сложных ее видах. Это позволяет создавать эффективные системы обработки сигналов при разумных затратах. Насколько допустима такая замена? Не приводит ли она к потере точности?

Дискретный сигнал получается из аналогового операцией дискретизации - взятием отсчетов (измерением) через интервал времени Т. В принципе возможна и цифровая обработка при неравномерной дискретизации по времени, однако эта тема куда менее разработана математически и, по-видимому, представляет не столь большой практический интерес. При этой операции представляется возможной потеря информации, заключенной в значениях сигнала в интервалах между отсчетами. Условия, при которых осуществимо восстановление аналогового сигнала по полученному из него цифровому, то есть сохранение всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремой Найквиста-Уиттекера-Котельникова-Шеннона (в зависимости от пристрастий автора встречаются все мыслимые комбинации этих имен). Для этого требуется, чтобы полоса частот входного сигнала была бы не менее чем вдвое уже, чем частота дискретизации, то есть f c = 1/2f d . (Нередко приводят частную ее формулировку, верную для сигналов, чья полоса частот начинается с нулевой частоты - “чтобы не присутствовали частоты большие, нежели половина частоты дискретизации”).

Если же такие частоты имеются, возникает эффект маскировки (подмены) частот. Наглядным его проявлением может служить иллюзия, часто проявляющаяся в кино - вращающееся колесо вдруг начинает вращаться в противоположную сторону. Здесь частота смены кадров является аналогом частоты дискретизации, и когда колесо совершает между последовательными кадрами более чем пол-оборота, оно кажется вращающимся в другую сторону и с иной скоростью. Для частоты f маскируются под нее частоты (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f) и т.д. Употребляется также термин “алиасы”, от aliases. Неучет этого эффекта может приводить к грубым ошибкам: так, в одном, проведенном в серьезной лаборатории исследовании было обнаружено наличие в электроэнцефалограмме у всех больных, в отличие от здоровых испытуемых, частот 22 и 28 герц. Однако, заметив, что частота дискретизации в данном исследовании была принята 128 Гц, видим, что эти частоты суть “призраки”, порождения помехи на частотах 100 и 150 Гц - второй и третьей гармониках сетевой частоты (их источником могли быть, например, нелинейные устройства в цепях питания аппаратуры, такие, как выпрямители и трансформаторы). Регистрация же их исключительно у больных вызвана была тем, что в условиях больницы, сравнительно с университетской лабораторией, где записывали ЭЭГ здоровых испытуемых, уровень помех существенно выше.

Борьба с эффектом маскирования частот (антиалиасинг) приводит к необходимости предварительной фильтрации сигнала, исключающей частоты выше половины частоты дискретизации, причем ввиду несовершенства реальных фильтров частоту среза выбирают заведомо более низкую, чем требуемая теоретически, как правило, в три-четыре раза ниже частоты дискретизации. Несовершенство это порождено не неумением инженеров-электриков, а носит фундаментальный характер. Дело в том, что сигнал с ограниченной частотной полосой в принципе не может быть конечной длины, а если он конечен во времени, то содержит бесконечную по ширине полосу частот. (Это ограничение количественно выражается соотношением неопределенностей, связывающим длину импульса и его частотную полосу - бесконечно короткий импульс содержит “в зародыше” все возможные частоты, а строго моночастотная синусоида должна простираться от минус до плюс бесконечности.) Поэтому чересчур высококачественный фильтр будет иметь слишком большое время установления, а “идеальный” - вообще бесконечное.

(ИП) — СИ, предназначенное для преобразования измеряемой величины в другую величину или сигнал измерительной информации, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи.

По расположению в измерительной цепи различают первичные и промежуточные измерительные преобразователи.

Первичный , называемый также датчиком, — это тот измерительный преобразователь, на который непосредственно действует измеряемая величина.

Остальные измерительные преобразователи называют промежуточными. Они расположены после первичного измерительного преобразователя и могут выполнять различные операции преобразования измерительного сигнала.

Как правило, к ним относятся:

Изменение физического рода величины;

Масштабное (линейное или нелинейное) преобразование;

Масштабно-временное преобразование;

Аналого-цифровое преобразование;

Цифро-аналоговое преобразование;

Функциональное преобразование (любые математические операции над значениями величины).

Следует иметь в виду, что указанная классификация достаточно условна. Во-первых, в одном СИ может быть несколько первичных (например, термопара в цепи термоэлектрического термометра). Во-вторых, специфика аналитических измерений также приводит к нарушению указанного принципа классификации.

Аналитические измерения представляют собой преобразование измеряемой величины, являющейся информативным параметром анализируемой среды (информативный параметр — параметр, несущий информацию о измеряемой величине), и сравнением ее с мерой.

Обычно они проводятся с помощью совокупности измерительных преобразователей , включающей следующие виды измерительных преобразователей :

ИП1: измерительный преобразователь типа состав - состав, обеспечивающие масштабные преобразования анализируемой пробы. Проба характеризуется информативным параметром С (содержанием измеряемого компонента) и комбинацией неинформативных параметров Сн, к которым относятся содержание неопределяемых (мешающих) компонент и термодинамические параметры анализируемой среды. При прохождении через ИП1 происходят процессы очистки, сушки, изменения температуры и давления смеси до требуемых величин и, после этих преобразований анализируемой среды, отбор ее требуемого количества. ИП1 обычно называют блоком отбора и подготовки пробы;

ИП2: измерительный преобразователь типа состав - свойство, обеспечивающие преобразование измеряемой величины С в то или иное физико-химическое свойство, удобное для последующего измерения и регистрации. Во многих случаях это преобразование идет в два этапа: получение промежуточного продукта в жидкой либо твердой фазе с содержанием компонента Ynpом(C), а затем его преобразование в свойство Ф (Ynpом).

ИП3: измерительный преобразователь типа свойство - выходной сигнал, обеспечивающие преобразование измеряемой величины в выходной измерительный сигнал W. Обычно это преобразование также осуще-ствляется в два этапа: в промежуточный сигнал Wnpом(Ф) и затем в выходной сигнал W(Wnpом ). При этом преобразование Wnpом в W — это преобразование одной электрической величины в другую.

Получив с помощью совокупности измерительных преобразователей выходные сигналы от анализируемого объекта, по калибровочной зависимости произво-дят сравнение измеряемой величины с мерой и вырабатывают оценочные значения С* измеряемой величины С.

Эта совокупность измерительных преобразователей не укладывается в приведенную классификацию, т. к. измеряемая величина непосредственно воздействует не только на первый измерительный преобразователь измерительной цепи, но и на их совокупность, включающую ИП1, ИП2 и первый преобразователь группы ИП3. При этом только второй преобразователь группы ИП3 является промежуточным. Отсюда следует, что в аналитических приборах роль первичного измерительного преобразователя выполняет совокупность измерительных преобразователей, осуществляющая последовательное, в несколько этапов, преобразование измеряемой величины в измерительный сигнал.

К средствам измерений относятся меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки и информационно-измерительные системы. Мерой называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения заданного значения физической величины.

Измерительный преобразователь - это средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающийся непосредственному восприятию наблюдателем. Измерительный преобразователь, к которому подводится измеряемая величина, называется первичным измерительным преобразователем .

В зависимости от характера преобразуемых величин различают следующие виды измерительных преобразователей:

Преобразователи электрических величин в электрические (делители напряжения, измерительные трансформаторы);

Преобразователи магнитных величин в электрические (измерительные катушки);

Преобразователи неэлектрических величин в электрические (термо- и тензопреобразователи, реостатные, емкостные).

В зависимости от вида входного и выходного сигналов различают измерительные преобразователи:

- аналоговые преобразователи , у которых на входе и выходе аналоговые сигналы;

- аналого -цифровые преобразователи , имеющие на входе аналоговый сигнал, а на выходе цифровой (кодированный) сигнал;

- цифро -аналоговые преобразователи , у которых на входе цифровой, а на выходе - аналоговый сигнал.

Первичные измерительные преобразователи, размещаемые непосредственно на объекте исследования и удаления от места обработки, отображения и регистрации измерительной информации, называют датчиками .

Измерительные приборы - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

По физическим явлениям, положенным в основу работы, измерительные приборы можно разделить на электроизмерительные (электромеханические, электротепловые, электрохимические и др.) и электронные приборы. По назначению их подразделяют на приборы для измерения электрических и неэлектрических (магнитных, тепловых, химических и др.) физических величин, по способу представления результатов - на показывающие и регистрирующие. В зависимости от регистрации измеряемой величины - аналоговые и цифровые измерительные приборы.

Измерительные установки - комплекс средств измерений, включающий в себя меры, измерительные приборы и преобразователи, вспомогательные устройства, объединенные общей схемой, с помощью которой можно измерить одну или несколько физических величин.

Диапазон измерений - область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерений. Он ограничивается наибольшим и наименьшим значениями.

Область значений шкалы, ограниченную начальными и конечными значениями шкалы, называют диапазоном показаний .

В каноническом разложении Котельникова интервал дискретизации случайного процесса определяется его интервалом корреляции, максимальным значением спектральной плотности и значением спектральной плотности на нулевой частоте.

Интервал дискретизации больше или равен интервалу корреляции процесса.

Из классической теории сигналов известно, что значения отсчетов, взятых через интервал Котельникова, взаимно-некоррелированы, если спектр сигнала в занимаемой им полосе частот равномерен (белый шум). Однако на практике в основном используются сигналы, спектр которых неравномерен, поэтому корреляция между отсчетами не равна нулю. При этом степень корреляции возрастает с увеличением частоты дискретизации. Типичным примером таких сигналов является речь, где корреляция между соседними отсчетами достаточно велика при соблюдении теоремы Котельникова в процессе дискретизации.

Часто используется понятие "интервал корреляции " или "время корреляции ", под которыми понимается величина временного сдвига , при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретного эксперимента. Обычно интервал корреляции определяют как .

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным, или белым шумом. В противном случае случайный процесс является коррелированным. В качестве примера на рис. 4.1 приведен пример коррелированного (вверху) и некоррелированного (внизу) случайного процесса. Реальные процессы все являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот.

Однако на определенном интервале времени (частот) их можно приближенно считать некоррелированными.

Время дискретизации Δτ = τk + 1 - τk (или соответствующую ему частоту

Дискретизации сигналов Δφ = 1/Δτ);

Время дискретизации сигналов первичных преобразователей или соответствующую ему частоту дискретизации сигналов выбирают в зависимости от требований к погрешности измерений, учитывая то, что частота дискретизации сигналов определяется требуемым частотным диапазоном измеряемого сигнала и ограничениями амплитудно-частотных характеристик первичных преобразователей.

Она должна как минимум в два - три раза превышать максимальную частоту возможного частотного диапазона измеряемого сигнала (для динамических измерений). Конец формы.

АСУ ТП строится по трехуровневой иерархии:

• нижней уровень — уровень контрольно-измерительных приборов и исполнительных механизмов;
• средний уровень — уровень контроллеров и оборудования связи
• верхний уровень — уровень серверов и операторских станций

В связи с высокими требованиями к надежности системы управления в химической промышленности все уровни АСУ ТП резервируются. Для обеспечения бесперебойной передачи данных между подсистемами и уровнями иерархии приме-няются высоконадежные и помехоустойчивые каналы пере-дачи данных. В настоящее время хорошо зарекомендовало себя для этих целей оптоволоконная кольцевая сеть Industrial Ethernet.

Обработка информации осуществляется в модуле централь-ного процессора контроллера, что обеспечивает высокую надежность системы управления и гарантию исполнения всех необходимых алгоритмов, который построен по модульному принципу, позволяющему производить оперативную замену вышедших из строя модулей.

Отображение информации о режимах управления установки и управление ее исполнительными механизмами осуществля-ется с автоматизированного рабочего места оператора (АРМ), реализованного на 2-х идентичных промышленных компьюте-рах в «горячем» резерве с установленным пакетом визуали-зации на базе операционной системы Windows XP.

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти - это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова - это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников "О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи." Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

Где k - целое число; ω = 2πf1; Dk - постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

Т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

И поэтому F(t) может быть представлена так:

Функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

Могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Таким образом

Введем следующие обозначения

Подставляя получаем:

Преобразуем

Еще преобразуем

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

То есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус - нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) - дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Заключение

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации

. Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Ес­ли аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой F e , (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изме­няющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некото­ром небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде.
Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сиг­нала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации . Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшени­ем интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискре­тизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.
Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается тео­ремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в мате­матике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), дока­занной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возмож­ность правильно осуществить дискре­тизацию аналогового сигнала и опреде­ляет оптимальный способ его восста­новления на приемном конце по отсчетным значениям.
Рис.14.1. Представление спектральной плотности

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

(1)

Интервал дискретизации

и частоту F e (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом (2)

Где k - номер отсчета;

- значение сигнала в точках отсчета; - верхняя частота спектра сигнала.
Для доказательства теоремы Котельникова рассмотрим произвольный непрерывный сигнал и(t), спектральная плотность которого сосредото­чена в полосе частот (сплошная линия на рис.14.1).
Мысленно дополним график спектральной плотности симметрично значениям, повторяющимся с периодом , (штриховые линии на рис.14.1). Полученную таким образом периодическую функцию разложим в ряд Фу­рье, заменив в формуле

аргумент t на с

, частоту на и (фор­мально) п на k . Тогда (3)

период - это

, а интервал дис­кретизации запишем (4)

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

(5)

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку время , то

Сравнив это выражение с формулой для C k , замечаем, что С учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид: (7)

Затем проделаем следующее: подставим выражение

в соотношение , изменим порядок интегрирования и суммирования, представим отно­шение как , и вычислим интеграл.
В результате получим такую фор­мулу:

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени

, что и доказывает теорему Ко­тельникова.
Простейшие сигналы вида ортогональные друг другу на интерва­ле времени -, , называются функ­циями отсчетов, базисными функция­ми, или функциями Котельникова. График k-й функции Котельникова представлен на рис. 2. Каждая из ба­зисных функций s k (t) сдвинута относи­тельно подобной ближайшей функции s k-1 (t) или s k+1 (t) на интервал дискрети­зации . Элементарный анализ фор­мулы (10) и графика на рис. 14.3 пока­зывает, что сигнал s k (t) отражается
Рис. 14.2. График базисной функции Котельникова


Рис.14.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента t построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0,

Теорема Котельникова

5.3. Теорема Котельникова.

5.3.1. Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

Рис. 5.1. График реализации телеграфного сигнала.

а)

б)

в)

г)
Рис. 5.2. Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования

5.3.2. Сигналы с дискретным временем.

Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.5.2 а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.5.2б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.5.2б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

5.3.3. Цифровые сигналы.

Как будет показано в дальнейшем, при передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значением. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рис.5.2в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …; величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала uΔ(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями – шагом квантования. Например, на рис. 2в разрешенные значения амплитуд импульсов приняты равными целым числам 0; 1; 2; 3 и образуют равномерную шкалу квантования, которая может быть продолжена и на область отрицательных значений сигнала u(t); при этом шаг квантования Δu=1.

Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигнала uΔ(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначения u ц(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования e(t) = u ц(t) – uΔ(t). На рис.5.2г приведен пример временной диаграммы ошибки е(t). Передача цифрового сигнала u ц(t) вместо сигнала uΔ(t) фактически эквивалентна передаче импульсного сигнала uΔ(t) с предварительно наложенным на него сигналом ошибки е(t), который в этом случае может рассматриваться как помеха. Поэтому е(t) часто называют помехой квантования или шумом квантования.

5.3.4. Теорема Котельникова.

Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем f в герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой f в. Если интервал дискретизации Δt<2 f в, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой w в<=wΔ/2 можно представить рядом

, (2)

Где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt – частота дискретизации по времени.

Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (2) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (2), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

Представление сигнала u(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рис.5.3, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (2).

Рис.5.3. Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова.

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота f в = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.