В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.
Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.
Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.
Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить выражение на множители:
3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .
Р а з в’ я з а н н я.
1) Общим множителем является число 4, поэтому
8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Общим множителем является переменная а, поэтому
at + 7ap = a(t + 7p).
3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,
15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).
Пример 2. Разложить па множители:
1) 2m(b - с) + 3р(b - с);
2) х(у - t) + c(t - в).
Р а з в ’ я з а н н я.
1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.
Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).
2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).
Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).
Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.
Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.
Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.
Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.
Ответ: 0; 1,4.
Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.
1) 7а + 7 = 7а;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2а - 2 = 2(а - 1);
4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
4) 7а + 21ау;
5) 9х 2 - 27х;
6) 3а - 9а 2 ;
8) 12ах - 4а 2 ;
9) -18ху + 24в 2 ;
10) а 2 b - ab 2 ;
11) рм - р 2 m;
12) -х 2 y 2 - ху.
4) 15ху + 5х;
6) 15m - 30m 2 ;
7) 9xy + 6х 2 ;
9) -p 2 q - рq 2 .
5) 3b 2 - 9b 3 ;
7) 4y 2 + 12y 4 ;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4 ;
6) -25m 3 - 20m.
1) а 4 + а 3 - а 2 ;
2) m 9 - m 2 + m 7 ;
3) b 6 + b 5 - b 9 ;
4) -в 7 - в 12 - в 3 .
1) р 7 + р 3 - р 4 ;
2) а 10 - a 5 + а 8 ;
3) b 7 - b 5 - b 2 ;
4) -m 8 - m 2 - m 4 .
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4х = 0.
1) х 2 + 3x = 0;
2) х 2 -7х = 0.
1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .
1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;
3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .
1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;
2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;
3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;
2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;
3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;
4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.
1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;
2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .
1) 2р(х - у) + q(x - у);
2) а(х + у) - (х + у);
3) (а - 7) - b(а - 7);
4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;
5) (х + 2) 2 - х(х + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
1) а(х - у) + b(у - х);
2) г(b - 5) - n(5 - b);
3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);
4) (х - y) 2 - а(у - х);
5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);
6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).
1) 3х(b - 2) + у(b - 2);
2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);
3) а(b - 9) + с(9 - b);
4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;
5) (с - m) 2 - 5(m - с);
6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .
1) 4x 2 - х = 0;
2) 7х 2 + 28х = 0;
3) х 2 + х = 0;
4)х 2 - х = 0.
1) 12х 2 + х = 0;
2) 0,2 x 2 - 2х = 0;
3) х 2 - х = 0;
4) 1 - х 2 + - х = 0.
1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;
2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.
1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;
2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.
1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;
2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.
1) 39 9 - 39 8 делится на 38;
2) 49 5 - 7 8 делится на 48.
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18а + 27b) 2 .
1) х(х - 3) = 7х - 21;
2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.
1) х(х - 2) = 4х - 8;
2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.
1) 10 4 + 5 3 делится на 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;
4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.
Упражнения для повторения
1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.
Интересные задачи для учеников ленивых
Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?
Определение 1
Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:
Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.
Пример 1
Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$
Решение:
Сначала вычислим проиведение коэффициентов
$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений
Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$
Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.
Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.
Мы нашли коэффициент будущего произведения.
Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Тогда итогом умножения одночленов будет:
${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.
Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:
Пример 2
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$
Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.
Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент
Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:
Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.
Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:
${4x}^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.
${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:
${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.
Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .
Замечание 1
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки
Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.
Пример 3
Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$
Решение:
Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители
$45=3\cdot 3\cdot 5$
И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:
Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени
$a^3=a^2\cdot a$
Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.
Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:
$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.
Навигация по странице.
Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .
Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.
В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .
Список литературы.
На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.
Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.
Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:
В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.
В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?
Найдём значение выражения: .
В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.
Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .
Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.
Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : 
.
Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .
Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?
Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.
Рассмотрим многочлен 
. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.
Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: 
.
Рассмотрим ещё один пример: .
Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .
Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.
Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .
В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:
Усложним пример, увеличив количество одночленов:
После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.
Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:
Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.
Общим множителем также может быть искомое значение :
Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.
Определение 1
Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:
Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.
Пример 1
Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$
Решение:
Сначала вычислим проиведение коэффициентов
$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений
Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$
Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.
Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.
Мы нашли коэффициент будущего произведения.
Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Тогда итогом умножения одночленов будет:
${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.
Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:
Пример 2
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$
Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.
Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент
Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:
Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.
Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:
${4x}^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.
${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:
${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.
Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .
Замечание 1
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки
Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.
Пример 3
Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$
Решение:
Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители
$45=3\cdot 3\cdot 5$
И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:
Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени
$a^3=a^2\cdot a$
Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.
Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:
$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
