Сайт о телевидении

Если переменной оказывается амплитуда сигнала U(t), причём остальные два параметра и неизменны, то имеется амплитудная модуляция (АМ) несущего колебания. Форма записи АМ-сигнала, такова:

В соответствии с формулой (5.2) АМ-сигнал есть произведение огибающей U(t) и гармонического заполнения . В большинстве практических случаев огибающая изменяется во времени гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение.

При АМ связь между огибающей U(t) и модулирующим полезным сигналом S(t) определяется следующим образом:

Здесь постоянный коэффициент, равный амплитуде несущего колебания в отсутствие модуляции; М – коэффициент АМ. Величина М – характеризует глубину АМ.

При малой глубине модуляции относительное изменение огибающей невелико, то есть во все моменты времени независимо от формы сигнала S(t).

Если же в момент времени, когда сигнал S(t) достигает экстремальных значений, имеются приближённые равенства.

то говорят о глубокой АМ.

АМ-сигналы с малой глубиной модуляции нецелесообразны ввиду неполного использования мощности передатчика. В то же время 100%-ная модуляция (М=1) в два раза повышает амплитуду колебаний при пиковых значениях модулированного сообщения. Дальнейший рост этой амплитуды, как правило, приводит к нежелательным искажениям из-за перегрузки выходных каскадов передатчика.

Не менее опасна слишком глубокая АМ (при М>1) называемая перемодуляцией. Здесь форма огибающей перестаёт повторять форму модулированного сигнала.

Однотональная АМ.

Простейший АМ-сигнал может быть получен в случае, когда модулирующим низкочастотным сигналом является гармоническое колебание с частотой Такой сигнал

называется однотональным АМ-сигналом. Такой сигнал можно представить как сумму простых гармонических колебаний с различными частотами. Используя известную тригонометрическую формулу произведения косинусов, из выражения (5.4) сразу получаем:

(5.5)

Формула (5.5) устанавливает спектральный состав однотонального АМ-сигнала. Принята следующая терминология: - несущая частота, - верхняя боковая частота, нижняя боковая частота.

Строя по формуле (5.5) спектральную диаграмму однотонального АМ-сигнала, следует обратить внимание на равенство амплитуд верхнего и нижнего боковых колебаний, а также на симметрию расположения этих спектральных составляющих относительно несущего колебания.

Если рассмотреть вопрос о соотношении мощностей несущего и боковых колебаний, то путём несложных математических преобразований можно убедиться, что средняя мощность АМ-сигнала равна сумме средних мощностей несущего и боковых колебаний.

Откуда следует:

(5.7)

Даже при 100%-ной модуляции (М=1) доля мощности обоих боковых колебаний составляет лишь 50% от мощности немодулированного несущего колебания.

А поскольку информация о сообщении заключена в боковых колебаниях, можно сделать вывод о неэффективности использования мощности при передаче АМ-сигнала.

АМ при сложном модулирующем сигнале

На практике однотональные АМ-сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма.

(5.8)

Здесь частоты образуют упорядоченную возрастающую последовательность , В то время как амплитуды и начальные фазы произвольны.

Подставив формулу (5.8) в (5.3), получим:

Введём совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции: и запишем аналитическое выражение сложномодулированного сигнала (многотонального) АМ-сигнала в форме, которая обобщает выражение (5.4)

Спектральное разложение проводится так же, как и однотонального АМ-сигнала:

(5.12)

На рисунке а) изображена спектральная диаграмма модулирующего сигнала S(t), построенная в соответствии с формулой (5.8). Рисунок б) воспроизводит диаграмму многотонального АМ-сигнала, где помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. С целью упрощения изображены только физические спектры.

Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулированного сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину . Спектр нижних боковых колебаний так же повторяет спектральную диаграмму сигнала S(t), но располагается зеркально относительно несущей частоты . Отсюда следует важный вывод: ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Амплитудно-манипулированные сигналы.

Важным классом многотональных АМ-сигналов являются так называемые манипулированные сигналы. В простейшем случае это – последовательности радиоимпульсов, отделённых друг от друга паузами. Такие сигналы широко используются в технике связи. Если S(t) – функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

Пусть, например, функция S(t) отображает периодическую последовательность видеоимпульсов. Считая, что амплитуда этих импульсов A=1, на основании (5.14) имеем при

Где q - скважность последовательности (,– длительность одного импульса).

Балансная АМ.

Как видно из предыдущего, значительная доля мощности АМ – сигнала сосредоточена в несущем колебании. Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ – сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную АМ(БМ). На основании формулы (5.4) представление однотонального АМ – сигнала с БМ таково:

(5.16)

Имеет место перемножение двух сигналов – модулирующего и несущего. Колебания вида (5.16) с физической точки зрения являются биениями двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами и частотами, равными верхней и нижней боковым частотам.

При многотональной БМ аналитическое выражение сигнала принимает вид:

Рассмотрим спектральную и временную диаграмму БМ – сигнала.

Как и при обычной АМ, в спектре БМ наблюдается две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний.

Если рассмотреть временную диаграмму биений, может показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет несущей частоты, хотя налицо присутствие высокочастотного заполнения, изменяющегося во времени именно с этой частотой.

Дело в том, что при переходе огибающей биений через нуль фаза высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180 градусов, поскольку функция имеет разные знаки слева и справа от нуля. Если такой сигнал подать на высокодобротную колебательную систему (например,LС-контур), настроенную на частоту , то выходной эффект будет очень мал, стремясь к нулю при возрастании добротности. Колебания в системе, возбуждённые одним периодом биений, будут гаситься последующим периодом.

Однополосная амплитудная модуляция.

Ещё более интересное усовершенствование принципа обычной АМ заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот (ОБП).

Сигналы с одной боковой полосой (SSB - singl side band) по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде:

Проводя тригонометрические преобразования, получаем:

Два последних слагаемых представляют собой произведение двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно, а другая – быстро.

Основное преимущество ОБП-сигналов – двукратное сокращение полосы занимаемых частот, что оказывается существенным для частотного уплотнения каналов связи.

Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется ещё более эффективно.

Введение

В данной статье речь пойдет о разновидностях аналоговой амплитудной модуляции. Предполагается, что читатель понимает смысл комплексной огибающей полосового радиосигнала , а также понятия аналитического сигнала и преобразования Гильберта .

Как было отмечено ранее, процесс модуляции заключается в формировании низкочастотной комплексной огибающей

(1)

после чего производится перенос этой комплексной огибающей на несущую частоту умножением на

(2)

Также было отмечено, что все виды модуляции различаются только способом формирования комплексной огибающей на основе модулирующего сигнала

Формирование сигналов с амплитудной модуляцией

Рассмотрим как производится формирование комплексной огибающей в случае с амплитудной модуляцией (АМ).

При АМ производится изменение только амплитуды несущего колебания при постоянной начальной фазе:

(3)

где - закон изменения амплитуды, а - постоянная начальная фаза несущего колебания. Потребуем, чтобы модулирующий сигнал имел нулевую постоянную составляющую и Тогда где носит название глубины АМ и радиосигнал с АМ имеет вид:

(4)

Поясним смысл глубины АМ, для этого возьмем частный случай модулирующего сигнала где В этом случае получим так называемую однотональную АМ. При амплитуда несущего колебания не меняется. На рисунках 1 - 4 приведены графики АМ сигнала при различной глубине модуляции: от 0 до 1,5. Синим показана амплитуда При глубине модуляции от 0 до 1 амплитуда несущего колебания совпадает с , однако при наблюдается перемодуляция, так как пересекает ось абсцисс.

Если глубина АМ выбрана так, что перемодуляции не наблюдается, то измерить глубину АМ можно по осциллограмме радиосигнала. Для этого необходимо померить максимальную и минимальную амплитуду несущего колебания как это показано на рисунке 5, и по ним рассчитать глубину АМ по формуле: Таким образом, комплексная огибающая равна , тогда квадратурные составляющие комплексной огибающей равны: Таким образом, квадратурная составляющая не учитывается, и радиосигнал формируется простым умножением несущего колебания на как это показано на рисунке 7.

Рисунок 7: Упрощенная схема АМ

Спектр сигналов с амплитудной модуляцией

Рассмотрим теперь спектр однотональной АМ. Для этого представим АМ сигнал в виде:

(9)

Таким образом, можно сделать вывод о том, что спектр однотональной АМ имеет три гармоники. Амплитудный и фазовый спектры сигнала с АМ представлены на рисунке 8.

Рисунок 8: Амплитудный и фазовый спектр сигнала с АМ

Центральная гармоника не несет никакой информации, однако ее амплитуда максимальна и не зависит от глубины АМ. Информация заключена в боковых гармониках, при этом их уровень зависит от глубины АМ, чем она выше, тем уровень боковых гармоник больше. Максимальное значение глубины АМ при котором не наблюдается перемодуляции , это означает, что максимальный уровень боковых гармоник в 2 раза ниже уровня несущей частоты. При этом как нетрудно заметить при суммарная мощность информационных гармоник будет в 2 раза ниже мощности несущей частоты, другими словами передатчик бОльшую часть энергии тратит на излучение неинформационной несущей, то есть просто обогревает космос. Также необходимо сделать замечание: спектр АМ сигнала всегда симметричен относительно центральной частоты, если модулирующий сигнал чисто вещественный.

Сигналы с балансной АМ (DSB) и их спектр

Давайте теперь допустим, что у нас есть перемодуляция, т.е. . Тогда при уровень информационных гармоник сравняется с уровнем несущей и при дальнейшем росте глубины модуляции уровень информационных гармоник уже начнет превосходить уровень несущей. Если позволить глубине модуляции расти неограниченно, то можно сделать предельный переход:

(10)

В выражении (10) множитель введен для того, чтобы зафиксировать уровень боковых информационных гармоник (это легко понять рассмотрев выражение ). В результате при увеличении будет наблюдаться падение уровня несущей при фиксированном уровне информационных гармоник, так как все гармоники делятся на Такой предельный переход приводит к балансной АМ с подавлением несущей (DSB). Действительно, уровень несущей будет: Таким образом, спектр однотональной балансной АМ с подавлением несущей содержит всего две гармоники как это представлено на рисунке 9.

Рисунок 9: Спектр однотональной балансной АМ с подавлением несущей

Комплексная огибающая балансной АМ имеет вид где

Cигнал с балансной АМ (10) имеет вид, представленный на рисунке 10. При этом можно заметить, что на осциллограмме видна несущая частота, которая отсутствует в спектре. Однако при пересечении модулирующим сигналом оси абсцисс, несущее колебание меняет знак (фаза сдвигается на ), это видно из рисунка 11 и в результате при излучении несущее колебание скомпенсируется, хотя на осциллограмме его можно увидеть.

При этом при АМ вектор всегда направлен в одну сторону и амплитуда меняется в зависимости от глубины АМ от до согласно (5), а при балансной АМ вектор меняется по амплитуде в пределах , причем в зависимости от модулирующего сигнала, вектор комплексной огибающей меняет знак на противоположный, что означает что фаза меняется на радиан (смотри рисунок 12 б). Главное преимущество балансной АМ — полное подавление несущей частоты. Вся мощность передатчика идет на излучение информационных составляющих. Как и в случае с АМ, спектр радиосигнала с балансной АМ симметричен относительно несущей частоты. Ширина спектра радиосигнала с балансной АМ равна удвоенной верхней частоте модулирующего сигнала, или в случае однотональной модуляции ширина спектра равна Выводы Таким образом, мы рассмотрели формирование АМ радиосигнала. Можно сделать выводы: АМ сигнал формируется путем управления амплитудой несущего колебания по закону модулирующего сигнала. Введено понятие глубины АМ, показано, что при слишком больших значениях глубины АМ может возникнуть перемодуляция, искажающая модулирующий сигнал. При отсутствии перемодуляции на излучение информации приходится не более 33% мощности сигнала, остальное — излучение несущей, а при балансной АМ несущая подавлена и вся мощность расходуется на излучение информации. Показано, что спектр АМ всегда симметричен относительно несущей при вещественном модулирующем сигнале и имеет ширину равную удвоенной верхней частоте модулирующего сигнала.

Как сравнить различные методы модуляции с точки зрения производительности и применений? Давайте посмотрим.

Важно понимать основные характеристики трех типов радиочастотной модуляции. Но эта информация не существует изолировано - цель заключается в разработке реальных систем, которые эффективно отвечают требованиям производительности. Таким образом, мы должны иметь общее представление о том, какой метод модуляции подходит для конкретного приложения.

Амплитудная модуляция

Амплитудная модуляция проста в плане реализации и анализа. Кроме того, AM сигналы довольно легко демодулировать. В целом, тогда AM можно рассматривать как простую, недорогую схему модуляции. Однако, как обычно, простота и низкая стоимость сопровождаются компромиссами в производительности - мы никогда не ожидаем, что более простое и дешевое решение будет самым лучшим.

Возможно, я буду неточным, если опишу AM системы как «редкие», поскольку AM приемники присутствуют на бесчисленных транспортных средствах. Однако применения аналоговой амплитудной модуляции в настоящее время весьма ограничены, поскольку AM имеет два существенных недостатка.

Амплитудный шум

Шум - это постоянная проблема в беспроводных системах связи. В определенном смысле качество радиочастотного проекта можно суммировать по отношению сигнал/шум демодулированного сигнала: меньше шума в принятом сигнале означает более высокое качество (для аналоговых систем) или меньшее количество битовых ошибок (для цифровых систем). Шум присутствует всегда, и мы всегда должны признавать в нем основную угрозу для производительности системы.

Шум - случайный электрический шум, помехи, электрические и механические переходные процессы - воздействует на уровень сигнала. Другими словами, шум может создавать амплитудную модуляцию. И это является проблемой, поскольку случайную амплитудную модуляцию, возникающую из-за шума, нельзя отличить от преднамеренной амплитудной модуляции, выполняемой передатчиком. Шум является проблемой для любого радиосигнала, но AM системы особенно восприимчивы.

Линейность усилителя

Одной из основных проблем в разработке радиочастотных усилителей мощности является линейность (более конкретно, трудно добиться и высокой эффективности, и высокой линейности одновременно). Линейный усилитель применяет к входному сигналу определенный фиксированный коэффициент усиления; графически это выглядит так: передаточная функция линейного усилителя представляет собой просто прямую линию с наклоном, соответствующим коэффициенту усиления.

Прямая линия представляет собой отклик идеального линейного усилителя: выходное напряжение всегда равно входному напряжению, умноженному на фиксированный коэффициент усиления

У реальных усилителей всегда есть некоторая степень нелинейности, что означает, что на усиление, применяемое к входному сигналу, влияют характеристики входного сигнала. Результатом нелинейного усиления являются искажения, т.е. создание энергии на частотах гармоник.

Любая схема модуляции, которая включает в себя изменения амплитуды, более восприимчива к влиянию нелинейности. Это включает в себя как обычную аналоговую амплитудную модуляцию, так и широко используемые цифровые схемы, известные в совокупности как квадратурная амплитудная модуляция (QAM).

Угловая модуляция

Частотная и фазовая модуляции кодируют информацию во временны́х характеристиках передаваемого сигнала и, следовательно, устойчивы к амплитудному шуму и нелинейности усилителя. Частота сигнала не может быть изменена шумом или искажением. Могут быть добавлены дополнительные частотные составляющие, но исходная частота всё равно будет присутствовать. Разумеется, шум оказывает негативное влияние на FM и PM системы, но шум напрямую не искажает характеристики сигнала, которые использовались для кодирования низкочастотных данных.

Как упоминалось выше, разработка усилителя мощности включает в себя компромисс между эффективностью и линейностью. Угловая модуляция совместима с низколинейными усилителями, и эти низколинейные усилители более эффективны с точки зрения энергопотребления. Таким образом, угловая модуляция является хорошим выбором для маломощных радиочастотных систем.

Ширина полосы частот

Эффекты в частотной области от амплитудной модуляции более просты, чем от частотной и фазовой модуляций. Это можно считать преимуществом AM: важно иметь возможность прогнозировать ширину полосы частот, занимаемую модулированным сигналом.

Однако сложность прогнозирования спектральных характеристик FM и PM актуальна больше для теоретической части проектирования. Если мы сосредоточимся на практических соображениях, угловая модуляция может считаться выгодной, поскольку она может преобразовывать заданную ширину полосы частот низкочастотного сигнала в несколько меньшую (по сравнению с AM) ширину полосы частот передаваемого сигнала.

Частота против фазы

Частотная и фазовая модуляции тесно связаны; тем не менее, есть ситуации, когда одна из них лучше другой. Различия между ними более выражены при цифровой модуляции.

Аналоговые частотная и фазовая модуляции

Как мы видели в статье про фазовую модуляцию , когда низкочастотный модулирующий сигнал является синусоидой, PM сигнал представляет собой просто сдвинутую версию соответствующего FM сигнала. Поэтому неудивительно, что ни у FM, ни у PM нет никаких серьезных плюсов или минусов, связанных со спектральными характеристиками или восприимчивостью к помехам.

Однако аналоговая частотная модуляция гораздо более распространена, чем аналоговая фазовая модуляция, и причина в том, что схемотехника FM модуляции и демодуляции более проста. Например, частотная модуляция может быть реализована чем-то простым, таким как генератор, построенный с использованием катушки индуктивности и конденсатора, управляемого напряжением (т.е. конденсатора, который изменяет свою емкость в зависимости от напряжения низкочастотного модулирующего сигнала).

Цифровые частотная и фазовая модуляции

Различия между PM и FM становятся весьма значительными, когда мы входим в область цифровой модуляции. При первом рассмотрении - это частота битовых ошибок. Очевидно, что частота битовых ошибок любой системы будет зависеть от разных факторов, но если мы математически сравниваем двоичную PSK систему с эквивалентной двоичной FSK системой, мы обнаружим, что для двоичной FSK требуется передавать значительно больше энергии для достижения той же частоты битовых ошибок. Это является преимуществом цифровой фазовой модуляции.

Но обычная цифровая фазовая модуляция также имеет два существенных недостатка:

• Как обсуждалось в статье про цифровую фазовую модуляцию , обычная (то есть недифференциальная) PSK несовместима с некогерентными приемниками. FSK, напротив, не требует когерентного детектирования.
• Обычные схемы PSK, особенно QPSK, включают в себя резкие изменения фазы, которые приводят к резким изменениям амплитуды модулированного сигнала, а участки с высоким наклоном формы сигнала уменьшаются по амплитуде, когда сигнал обрабатывается фильтром нижних частот. Эти изменения амплитуды в сочетании с нелинейным усилением приводят к проблеме, называемой внеполосным излучением. Чтобы уменьшить внеполосное излучение, мы можем использовать более линейный (и, следовательно, менее эффективный) усилитель мощности или реализовать специализированную версию PSK. Или мы можем перейти на FSK, которая не требует резких изменений фазы.

Резюме

• Амплитудная модуляция проста, но она очень чувствительна к шуму и требует высоколинейного усилителя мощности.
• Частотная модуляция менее восприимчива к амплитудному шуму и может использоваться с более высокоэффективными усилителями с более низкой линейностью.
• Цифровая фазовая модуляция обеспечивает лучшую теоретическую производительность с точки зрения частоты битовых ошибок, чем цифровая частотная модуляция, но цифровая FM более выгодна в маломощных системах, поскольку не требует усилителя с высокой линейностью.

На панели любого современного радиоприемника есть переключатель AM-FM. Как правило, обычный потребитель не задумывается о том, что означают эти буквы, ему достаточно запомнить, что на FM есть его любимая УКВ-радиостанция, транслирующая сигнал в стереозвучании и с прекрасным качеством, а на АМ можно поймать «Маяк». Если же вникнуть в технические подробности хотя бы на уровне пользовательской инструкции, то выяснится, что АМ - это амплитудная модуляция, а FM - частотная. Чем же они отличаются?

Для того чтобы из громкоговорителя радиоприемника зазвучала музыка, должен претерпеть определенные изменения. В первую очередь его следует сделать пригодным для радиотрансляции. Амплитудная модуляция стала первым способом, которым инженеры-связисты научились передавать речевые и музыкальные программы в эфире. Американец Фессенден в 1906 году с помощью механического генератора получил колебания в 50 килогерц, ставшие первой в истории несущей частотой. Далее он решил техническую проблему самым простым способом, установив микрофон на выходе обмотки. При воздействии на угольный порошок внутри мембранной коробки менялось его сопротивление, и величина сигнала, поступающего от генератора на передающую антенну, уменьшалась или увеличивалась в зависимости от них. Так была изобретена амплитудная модуляция, то есть изменение размаха несущего сигнала таким образом, чтобы форма огибающей линии соответствовала форме передаваемого сигнала. В двадцатые годы механические генераторы были вытеснены электронно-ламповыми. Это значительно уменьшило габариты и вес передатчиков.

Отличается от амплитудной тем, что размах несущей волны остается неизменным, меняется ее частота. По мере развития электронной базы и схемотехники появились другие способы, с помощью которых информационный сигнал «садился» на частоту радиодиапазона. Изменение фазы и широты импульса дали название фазовой и широтно-импульсной модуляциям. Казалось, что амплитудная модуляция как способ радиотрансляции устарела. Но вышло иначе, она сохранила свои позиции, хотя и в несколько измененном виде.

Растущие требования к информационной насыщенности частот побуждали инженеров искать способы увеличить количество каналов, передаваемых на одной волне. Возможности многоканальной трансляции определяются и барьером Найквиста, однако, помимо квантования сигнала, появилась возможность увеличить информационную нагрузку на посредством изменения фазы. Квадратурно-амплитудная модуляция - это такой способ передачи, при котором на одной частоте передаются разные сигналы, сдвинутые по фазе относительно друг друга на 90 градусов. Четырехфазность образует квадратуру или комбинацию двух составляющих, описываемых тригонометрическими функциями sin и cos, отсюда и название.

Квадратурная амплитудная модуляция получила широкое распространение в цифровой связи. По своей сути она представляет собой сочетание фазной и амплитудной модуляции.

» её автор довольно сумбурно попытался представить своё понимание формирования спектра при амплитудной модуляции. Но отсутствие иллюстраций и избыток математики с привлечением интегральных преобразований помешало сообществу понять мысли автора и оценить статью по достоинству; в то время как тема это достаточно простая - и рассмотреть которую мы попробуем ещё раз, на этот раз с картинками и привлечением Wolfram Mathematica.

Итак, идея амплитудной модуляции состоит в том, чтобы передавать низкочастотный сигнал - голос или музыку - модулируя высокочастотный (несущий) сигнал, многократно превышающий слышимый диапазон и занимающий узкую полосу частот в радиоэфире. Сама модуляция осуществляется простым умножением сигнала на несущий:

Здесь у нас в качестве несущей выступает синусоида с частотой 5:

А сам сигнал - с частотой 1:

Можно заметить, что сигнал смещён вверх и имеет только положительные значения. Это не случайно и является обязательным условием для возможности последующего его корректного восстановления. Как же его восстановить? Очень просто! Нужно сдвинуть фазу промодулированного сигнала на 90 градусов (операция, известная как преобразование Гильберта), и посчитать корень из суммы квадратов модулированного и преобразованного сигналов:

В более простом (но грубом) варианте преобразование Гильберта можно заменить задержкой сигнала на четверть периода несущий частоты, а итоговый сигнал дополнительно отфильтровать фильтром низких частот. В ещё более простом варианте можно вообще не считать корней и квадратов, а отфильтровать сигнал по абсолютному значению (что и применяется обычно в радиоприёмниках).

Теперь посмотрим, что у нас происходит со спектрами. Посчитаем преобразование Фурье от несущей:

Так как дельта-функция Дирака не является функцией в классическом смысле, её график нельзя построить стандартным способом; поэтому сделаем это вручную, используя общепринятое начертание:

Ожидаемо получили ту же частоту, что и в начальной формуле. Наличие ещё одной такой же частоты, но со знаком минус, не случайно - это явление называется Hermitian symmetry и является следствием того, что рассматриваемая функция сугубо действительная и в комплексном представлении имеет нулевую мнимую компоненту. Отсутствие мнимых компонент в спектре после преобразования обусловлено тем, что изначально наши функции ещё и чётные (симметричные относительно нуля).

Теперь сделаем преобразование Фурье для самого сигнала:

Здесь мы дополнительно получили дельта-функцию Дирака в центре координат - вследствие наличия в сигнале постоянной составляющей, которая не имеет колебаний по определению - что позволяет её рассматривать как нулевую частоту.

Что же будет со спектром, если их перемножить? Посмотрим:

Из теории мы знаем, что умножение во временном домене равносильно свертке в частотном (и наоборот, что широко используется при FIR-фильтрации). А поскольку один из подвергаемых свёртке сигналов состоял только из одной (положительной и отрицательной) частоты, то в результате свёртки мы получили просто линейный перенос сигнала вверх по частоте (в обе стороны). И так как симметрия осталась, сигнал у нас по-прежнему не имеет мнимой компоненты.

Приведём его теперь к комплексному (аналитическому) виду, обнулив отрицательную область частот:

И сделаем обратное преобразование Фурье:

Так как функция теперь комплексная, для построения её графика необходимо отдельно извлечь действительную и мнимую компоненты:

Теперь у нашего сигнала появилась мнимая компонента, представляющая собой сдвинутый на 90 градусов исходный сигнал. Это будет более очевидным, если представить полученную функцию в тригонометрическом виде:

Пока не очень очевидно. Попробуем упростить:

Теперь больше похоже на правду - и как видим, функция нашего исходного сигнала тоже упростилась. Попробуем её вернуть к оригинальному виду:

Множитель 1/2 появился не случайно - ведь обнулив половину спектра, мы соответственно и уменьшили мощность сигнала. Ну а теперь, имея модулированный комплексный сигнал, мы можем взять и этот модуль посчитать:

Модуль комплексного числа как раз и считается через корень суммы квадратов мнимого и действительных компонентов. И отсюда понятно, почему кодируемый сигнал должен состоять только из положительных значений - если он будет включать отрицательные значения, то после восстановления они также станут положительными, что и называется перемодуляцией:

Восстановление сигнала также возможно и при помощи квадратурного гетеродина - когда модулированный сигнал снова умножается на несущую частоту, но на этот раз - комплексную:

За счёт того, что комплексная частота в частотной области имеет только один импульс без дублирования его в отрицательной области частот - то в результате свёртки мы получим линейный перенос спектра, при которой отрицательная часть спектра встанет обратно в центр, а положительная - сдвинется ещё дальше, и её останется только отфильтровать фильтром нижних частот.

Заключение

Как видим, в рассмотрении амплитудной модуляции через преобразовании Фурье нет ничего сложного; если же рассматривать её исключительно на школьном уровне, то достаточно вспомнить, что произведение (несущей) суммы (представление сигнала в виде тригонометрического ряда) равнозначно сумме произведений (каждого члена ряда по отдельности на несущую частоту) - и, соответственно, каждое такое произведение раскладывается на сумму двух синусоид по уже озвученной автором исходной статьи формуле.

Внимательный читатель также мог заметить, что раз в результате модуляции мы получили симметричный относительно несущей частоты спектр - значит, имеет место быть избыточность данных и можно оставить только одну боковую полосу, сократив тем самым занимаемую полосу частот в радиоэфире. Такая технология действительно